Контрольная работа: Алгебра и начало анализа
- Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
- Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
- Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q.
- Если
q > 0 (
), то прогрессия является
монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2,
q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть
монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены
прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной
последовательностью. - Характеристическое
свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn)
является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее
член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним
членов, т. е.
(1) - Формула
n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
(2) - Формула
суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
, 
(3) - Если
в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле
(2), то получится соот-ношение.
, 
(4) - Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма бесконечной геометрической
прогрессии при 
- Пусть
(xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где
и 
. Суммой
бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет
условию 
, называется предел суммы n
первых ее членов при 
. - Обозначим
сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна
формула
.
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
- формула
для корней уравнения sin(x) = a, где
, имеет вид: 
Частные случаи: - sin(x)
= 0, x =
- sin(x)
= 1, x =
- sin(x)
= -1, x =
- формула
для корней уравнения sin2(x) = a, где
, имеет вид: x= 
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
- Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
- При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
- Для
решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a
(sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y =
sin(x).
sin(x) = 0 если х =
;
sin(x) = -1, если x =
>;
sin(x) > 0, если
;
sin(x) < 0, если
.
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
- Формула
для корней уравнения cos(x) = a, где
, имеет вид: 
. - Частные
случаи:
cos(x) = 1, x =
;
cos(x) = 0,
;
cos(x) = -1, x =
- Формула
для корней уравнения cos2(x) = a, где
, имеет вид: 
.
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
- Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
- Важным
моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если
;
cos(x) = -1, если x =
;
cos(x) = 1, если x =
;
cos(x) > 0, если
;
cos(x) > 0, если
.
14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
- Формула
для корней уравнения tg(x) = a имеет вид:
. - Частные
случаи:
tg(x) = 0, x =
;
tg(x) = 1,
;
tg(x) = -1,
. - Формула
для корней уравнения tg2(x) = a, где
, имеет вид: 
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
- Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
- Важно
знать, что:
tg(x) > 0, если
;
tg(x) < 0, если
;
Тангенс не существует, если
.
№ 15
- Формулами
приведения называются соотношения, с помощью которых значения
тригонометрических функций аргументов
, 
, 
, 
, выражаются через значения
sin 
,
cos 
,
tg 
и
ctg 
.
- Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
|
Функция |
Аргумент |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
cos |
cos |
sin |
-sin |
-cos |
-cos |
-sin |
sin |
|
cos |
sin |
-sin |
-cos |
-cos |
-sin |
sin |
cos |
cos |
|
tg |
ctg |
-ctg |
-tg |
tg |
ctg |
-ctg |
-tg |
tg |
|
ctg |
tg |
-tg |
-ctg |
ctg |
tg |
-tg |
-ctg |
ctg |
- Для облегчения
запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов
, 
к функциям угла 
название функции
изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов
, 
к функциям угла 
название функции
сохраняют;
б) считая
острым углом (т. е. 
), перед
функцией угла 
ставят такой знак, какой
имеет приводимая функ-ция углов 
, 
, 
.
Все
вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + 
по абсолютной величине равна той
же функции угла 
, если число n - четное, и
дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла
90°n + 
.
положительна, когда 
- острый угол, то знаки обеих
функций одинаковы, если отрицательна, то различны.
№ 16
- Формулы
косинуса суммы и разности двух аргументов:
Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол
и на угол 
(рис.1). Получим
радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов 
и 
. Пусть координаты
точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2
и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы 
и 
. По
определению скалярного произведения векторов:
= х1х2
+ y1y2. (1)
Выразим скалярное произведение
через тригонометрические
функции углов 
и 
. Из определения косинуса и
синуса следует, что
х1 = R cos
, y1 = R sin 
, х2
= R cos 
, y2 = R sin 
.
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:
= R2cos
cos
+ R2sin
sin
= R2(cos
cos
+ sin
sin
).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
= 
cos 
BOC = R2cos
BOC.
Угол ВОС между векторами
и 
может быть равен 
- 
(рис.1), 
- (
- 
) (рис.2)
либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из
этих случаев cos 
BOC = cos (
- 
). Поэтому
= R2
cos (
-
).
Т.к.
равно также R2(cos
cos
+
sin
sin
), то
cos(
- 
) =
cos
cos
+
sin
sin
.
cos(
+ 
) =
cos(
- (-
)) =
cos
cos(-
) +
sin
sin(-
) =
cos
cos
-
sin
sin
.
Значит,
cos(
+ 
) =
cos
cos
-
sin
sin
. - Формулы
синуса суммы и разности двух аргументов:
sin(
+ 
) = cos( 
/2 - (
+ 
)) = cos((
/2 - 
) - 
) = cos( 
/2 - 
) cos
+ sin( 
/2 - 
) sin
= sin
cos
+ cos
sin
.
Значит,
sin(
+ 
) =
sin
cos
+
cos
sin
.
sin(
- 
) =
sin(
+ (-
)) =
sin
cos(-
) +
cos
sin(-
) =
sin
cos
-
cos
sin
.
Значит,
sin(
- 
) =
sin
cos
-
cos
sin
.
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы
сложения позволяют выразить sin 2
, cos 2
, tg 2
, ctg 2
через тригонометрические функции
угла 
.
Положим в формулах
sin(
+ 
) = sin
cos
+ cos
sin
,
cos(
+ 
) = cos
cos
- sin
sin
,
,
.
равным 
. Получим
тождества:
sin 2
= 2 sin 
cos 
;
cos 2
= cos2
- sin2
= 1 - sin2
= 2 cos2
- 1;
; 
.
№ 18
Формулы половинного аргумента
- Выразив
правую часть формулы cos 2
= cos2 
- sin2 
через одну
тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2
=
1 - sin2 
, cos 2
= 2 cos2 
- 1.
Если в данных соотношениях положить
= 
/2, то получим:
cos
= 1
- 2 sin2 
/2, cos 2
= 2 cos2 
/2 - 1. (1)
- Из
формул (1) следует, что
(2),
(3).
- Разделив
почленно равенство (2) на равенство (3), получим
(4).
- В
формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой
координатной четверти находится угол
/2. - Полезно
знать следующую формулу:
.
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму
и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения
тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование,
могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin 
+ sin 
, положим 
= x + y и 
= x - y и воспользуемся
формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin 
+ sin 
= sin (x + y) + sin
(x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив
теперь систему уравнений 
= x + y, 
= x - y относительно x и y,
получим х = 
,
y = 
.
Следовательно,
sin 
+ sin 
= 2 sin
cos
.
Аналогичным образом выводят формулы:
sin 
-sin 
= 2 cos
sin 
;
cos 
+ cos 
= 2 cos
cos
;
cos 
+ cos 
= -2 sin
sin 
.
№ 20
Чтобы
найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q
= 0, где 
,
достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства
прибавить 
.
Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение
= 
- q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним
видом: 
стоит
вместо x и 
- q - вместо m.
Находим 
= 
. Отсюба х = - 
. Эта формула
показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут
быть и мнимыми, если 
< q . Может также
оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если 
= q .
Возращаемся к обычному виду 
.
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q
= 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2
= -р, а х1х2 = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2
таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2
= q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 +
px + q = 0.
21
Опр. Логарифмом числа b
по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести
основание а, чтобыполучить число b.
Формулу 
(где b > 0, a > 0 и a 
1) называют
основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:
; 
; - Логарифм
произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x =
,
y = 
.
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy =
= 
.
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан. - Логарифм
частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3 - Логарифм
степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.
22
- Производной
функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения
функции в
точке х0 к приращению 
аргумента, когда последнее
стремится к нулю. Это можно записать так: 
. - Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
- Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
- Существование
производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию
(невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0))
графика, при этом угловой коэффициент касательной равен
. В этом
состоит геометрический смысл производной. - Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.
23
- Производная
суммы равна сумме производных, если они существуют:
. - Если
функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их
производные дифференцируемы в этой точке и
.
- Если
функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С
- постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
.
- Если
функция u и v дифференцируемы в точке х0 и
функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже
дифференцируемо в точке х0 и
.
