Контрольная работа: Математический анализ

при x3 = 1.8

Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.

Задача 8

Методом наименьших квадратов для таблично заданной g(x) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (Pi(x), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.

 

Решение.

Составим таблицу степеней x и xy

i	x	y	x2	x3	x4	x5	x6	xy	x2y	x3y
1	0.3	-0.02	0.09	0.027	0.0081	0.00243	0.000728999	-0.006	-0.0018	-0.00054
1	0.8	0.604	0.64	0.512	0.4096	0.32768	0.262144	0.4832	0.38656	0.309247
1	1.3	0.292	1.69	2.197	2.8561	3.71293	4.8268	0.3796	0.493479	0.641523
1	1.8	-0.512	3.24	5.832	10.4976	18.8956	34.0122	-0.9216	-1.65888	-2.98598
1	2.3	-1.284	5.29	12.167	27.9840	64.3634	148.035	-2.9532	-6.79236	-15.6224
1	2.8	-2.04	7.84	21.952	61.4656	172.103	481.89	-5.712	-15.9936	-44.782
6	9.3	-2.96	18.79	42.687	103.22	259.405	669.026	-8.73	-23.5666	-62.4401

 

Составим системы уравнений:

Откуда a0 = -0.93621; a1 = 3.89576; a2 = -2.8954; a3 = 0.488001

Аппроксимирующий степенной полином 3-й степени имеет вид:

P3(x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x2 + 0.488001x3

Откуда a0 = -0.0710314; a1 = 0.989486; a2 = -0.624589;

Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2

Откуда a0 = 0.974118; a1 = -0.946742;

Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:

P1(x) = 0.974118 – 0.946742x

6a0 = -2.96

Откуда a0 = -0.493333;

Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:

P0(x) = -0.0493333

Изобразим полученные полиномы на графике:

Задача 9

 

Для аппроксимирующего полинома третьей степени P3(x) получить аналитические выражения ΔnP3(x), n = 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.

Решение

Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:

		ΔP3(x)
					P3(x)
	Δ2P3(x)

	Δ4P3(x)		Δ3P3(x)

Задача 10

Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций:

в) заданы значения функции в точках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.

Решение

Значение определенного интеграла найдем, исходя из формулы:

где w1, w2 некоторые коэффициенты

t1, t2 — точки, плавающие внутри интервала интегрирования.

Составим систему уравнений

w(t) = (t-t1)(t-t2) = C0 + C1t + C2t2 = 0

C2 = 1

Домножив уравнения на соответствующие коэффициенты получим:

2C0 + 2/3 = w1 (C0 + C1t1 + t12) + w2 (C0 + C1t1 + t22)

2C0+ 2/3 = 0

C0 = -1/3

Подставляя полученные значения в первую систему, получим:

Квадратурная формула:

 

Задача 11

С помощью квадратурных формул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенного представления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного в задаче № 6 в пределах от x0 до x0 +3h, и сравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла по первообразным многочлена.

 

Решение

Используем степенное представление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6

Для перехода к интегралу с канонической формой используем линейное преобразование: x = α + βt.

 

Составим систему уравнений:

Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа от переменной t:

L (t) = 0.24975t3 - 0.80325t2 - 0.49575t + 0.537253

Учитывая, что dx = βdt, получим:

Применим квадратурную формулу, полученную в задаче №10

Для сравнения вычислим аналитически значение интеграла:

Так как результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.

 

Задача 12

Оценить погрешность определенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3π] по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной в задаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое над усеченным степенным рядом, представляющим sin(x), в который x входит со степенью не выше третьей.

Решение

Перейдем от пределов [0,2/3 π] к пределу [-1,1]: для этого воспользуемся линейным преобразованием x= α + βt . Составить систему

Учитывая, что dx = βdt, получим:

Применим квадратурную формулу:

Вычислим аналитически:

Найдем погрешность вычисления:

Проделаем те же операции над усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):

Перейдем от пределов [0; 2π/3] к пределам [-1; 1], для этого используем линейное преобразование x = α +βt. Составим систему уравнений:

Учитывая, что dx = βdt, получим

Применим квадратурную формулу, получим

Найдем погрешность вычисления

 

Задача 14

Степенными полиномами Чебышева Ti относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнения второго порядка:

Ti+2 - 2x Ti+1 + Ti = 0,

с начальными условиями T0 = 1 и T1 = x.

Найти аналитическое выражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если  и i = 4. Проверить вычисления непосредственно по заданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов у многочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модуль максимально возможного значения полинома в точках экстремумов.

Решение.

Исходя из того, что

xi = |yi|  надо найти T4 т.е. для i = 4

Из Ti+2 - 2xTi+1 + Ti = 0 следует, что

T2 = 2xT1 - T0

T3 = 2xT2 - T1 = 2x(2xT1 - T0) - T1

T4 = 2xT3 - T2 = 2x(2x(2xT1 - T0) - T1) - 2xT1 + T0 = 8x3T1 - 4x2T0 - 4xT1 + T0

Подставим значение T0 = 1 и T1 = x

T4 = 8x4 - 4x2 - 4x2 + 1 = 8x4 - 8x2 + 1

Найдем значения x:

T4 = 0.99980

Проверим по заданной рекуррентной формуле:

T2 = 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999

T3 = 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469

T4 = 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980

Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:

8x4 - 8x2 + 1 = 0, где

x1 = 0.9238795

x2 = -0.9238795

x3 = 0.3826834

x4 = -0.3826834

Чтобы найти экстремумы найдем

 

Задача 16

Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.

T(x0, 0) = T0,   T(x1, 0) = T1,   …,   T(x5, 0) = T5;    (Ti = 100·yi ˚C).

На концах стержня в точках x-1 и x6 удерживается нулевая температура.

Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.

Решение.

Получаем систему диф. уравнений:

Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:

 

Задача 17.

Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева Ti(x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять

В качестве xi берутся |yi| из таблицы исходных данных.

Решение.

Из задачи 14 возьмем полином Чебышева T4 = 8x4 - 8x2 + 1. В качестве начального приближения к корню возьмем xнач, вычисленное по формуле

Т.к. 8x4 - 8x2 + 1 = 0, то можем сказать, что f(xнач + α) = 0

Воспользуемся DERIVE для нахождения корня с необходимой точностью:

получим такие значения: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.

На третьей итерации получаются значения корня с нужной точностью.

 

Задача 19

Скорость изменения переменной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найти аналитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальный момент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P2(x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1  в интервале [0, 0.5].

Решение

P2(x) =  -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2
 = f(x)

Исходя из начальных условий, т.к. dx/dt = f(x), имеем

Т.к. x = F(t), то:

Протабулируем x(t) на интервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:

t = 0       x = 0

t = 0.1    x = -0.0622648

t = 0.2    x = -0.137833

t = 0.3    x = -0.230872

t = 0.4    x = -0.347464

t = 0.5    x = -0.496850

 

Задача 20

 

Методом Эйлера в интервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейного дифференциального уравнения:

dx/dt = a + bx + cx2,

x(0) = 0

Коэффициенты a, b, c взять из P2(x), полученного в задаче 8.

Решение

y = P2(x)

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2

Общая формула для решения

x = x0 + h·P2(x0, t0)

x1 = 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156

x2 = -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156)1 –

-0.624589· (-0.03551562) = -0.053854

x3 = -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854)1 –

- 0.624589 (-0.053854)2) = -0.0636315

x4 = -0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315)1 –

-0.624589 (-0.0636315)2) = -0.0689304

x5 = -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304)1 –

-0. 0.624589 (-0.0689304)2) =--0.071827

 

Задача 23

Проверить заданную систему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейной зависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнить повторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:

x1 = (y0,y1,y2); x2=(y3,y4,y5);  x3=(h,x0,0).

На базе линейно независимой системы векторов x1, x2, x3 методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:

y1 = (y11,y21,y31); y2=(y12,y22,y32);  y3=(y13,y23,y33).

На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y1,y2, y3). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T-1 и транспонированную T’. Найти произведение T-1 · T, T · T’. Сделать выводы о свойствах матрицы T.

Решение

Исходные векторы x1 = (-0.02,0.604,0.292); x2=(-0.512,-1.284,-2.04); 

x3=(0.5,0.3,0).

Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:

det (A·AT) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима.

Найдем векторы v1, v2, v3

 

v1 = x1

v2 = x2 + a21·v1

v3 = x3 + a32·v2 + a31·v1

v1 = (-0.02, 0.604, 0.292);

v2 = (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).

Матрица T:

det(T) = -1

Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T-1. Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.

 

Задача 24

Считая числа –1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у1, у2, у3 из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р1, Р2, Р3), саму матрицу А и ей обратную А-1. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.

 

Решение

 

Найдем проекторы матрицы А:

Найдем обратную матрицу А-1:

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:

-x3-6x2-11x-6=0;

Корни характеристического уравнения – собственные значения матрицы

x1= -1;   x2= -2;    x3= -3

 

Задача 25

Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.

Решение