Контрольная работа: Применение методов линейного программирования для оптимизации стоимости перевозок
Сумма всех затрат, т. е. стоимость реализации данного плана перевозок, является линейной функцией переменных :
|
Требуется в области допустимых решений системы уравнений (3. ) и (3.) найти решение, минимизирующее линейную функцию (3. ).
Таким образом, мы видим, что транспортная задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем некоторых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системы ограничений-уравнений равен то среди всех неизвестных выделяется базисных неизвестных, а остальные · неизвестных являются свободными. В базисном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем заполненных и · пустых клеток.
На предприятии ОАО «Электросигнал» имеется 4 транзитных склада Аi, на которых хранятся сборочные узлы и 5 цехов Bj, занимающихся сборкой готовой продукции. Ниже, в таблице 3., приведены данные по количеству сборочных узлов на каждом складе, запросы цехов и стоимость перевозки одного агрегата из Аi в Bj. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы цехов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок.
Таблица 3. – Исходные данные по количеству сборочных узлов и стоимость перевозки
Цеха Склад |
B1 (b1=40) |
B2 (b2=50) |
B3 (b3=15) |
B4 (b4=75) |
B5 (b5=40) |
А1 (а1=50) |
1,0 | 2,0 | 3,0 | 2,5 | 3,5 |
А2(а2=20) |
0,4 | 3,0 | 1,0 | 2,0 | 3,0 |
А3(а3=75) |
0,7 | 1,0 | 1,0 | 0,8 | 1,5 |
А4(а4=80) |
1,2 | 2,0 | 2,0 | 1,5 | 2,5 |
В данном случае Σai=225 >Σbj=220 => имеем дело с открытой моделью транспортной задачи. Сведем ее к закрытой введением фиктивного цеха B6 с потребностью b5=225-220=5 и стоимостью перевозок сi6=0.Имеем таблицу 3. :
Таблица 3. -
Цеха Склад |
B1 (b1=40) |
B2 (b2=50) |
B3 (b3=15) |
B4 (b4=75) |
B5 (b5=40) |
B6 (b6=5) |
А1 (а1=50) |
1,0 | 2,0 | 3,0 | 2,5 | 3,5 | 0 |
А2(а2=20) |
0,4 | 3,0 | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 0 |
А3(а3=75) |
0,7 | 1,0 | 1,0 | 0,8 | 1,5 | 0 |
А4(а4=80) |
1,2 | 2,0 | 2,0 | 1,5 | 2,5 | 0 |
Математическая модель: обозначим xij – количество товара, перевозимого из Аi в Bj. Тогда
x11 x12 x13 x14 x15 x16
x21 x22 x23 x24 x25 x26
X = x31 x32 x33 x34 x35 x36 - матрица перевозок.
x41 x42 x43 x44 x45 x46
min(x11+2x12+3x13+2,5x14+3,5x15+0,4x21+3x22+x23+2x24+3x25+0,7x31+x32+x33+0,8x34+1,5x35++1,2x41+2x42+2x43+1,5x44+2,5x45) (3. )
x11+x12+x13+x14+x15+x16=50
x21+x22+x23+x24+x25+x26=20
x31+x32+x33+x34+x35+x36=75
x41+x42+x43+x44+x45+x46=80
|
x12+x22+x32+x42=50
x13+x23+x33+x43=15
x14+x24+x34+x44=75
x15+x25+x35+x45=40
x16+x26+x36+x46=5
xij≥0 (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 ) (3. )
Двойственная ЗЛП:
max(50u1+20u2+75u3+80u4+40v1+50v2+15v3+75v4+40v5+5v6) (3. )
|
|
|
||||||
u1+v1≤1
u1+v2≤2
u1+v3≤3 (3. )
u1+v4≤2,5
u1+v5≤3,5
u1+v6≤0
ui,vj – произвольные (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 )
Будем искать первоначальный план по методу наименьшей стоимости:
1) x21=20 и 2-ую строку исключаем;
2) x31=20 и 1-ый столбец исключаем;
3) x34=55 и 3-ю строку исключаем;
4) x44=20 и 4-ый столбец исключаем;
5) x12=50 и 1-ю строку и 2-ой столбец исключаем и x32=0;
6) x43=150 и 3-ий столбец исключаем;
7) x45=40 и 5-ый столбец исключаем и x46=5.
Составим таблицу 3. . Здесь и далее в нижнем правом углу записываем значение перевозки.
Таблица 3. – Проведение итераций
Цеха Склад |
B1 (b1=40) |
B2 (b2=50) |
B3 (b3=15) |
B4 (b4=75) |
B5 (b5=40) |
B6 (b6=5) |
||||||||
А1 (а1=50) |
1,0 |
|
3,0 | 2,5 | 3,5 | 0 | ||||||||
А2(а2=20) |
0,4
|
3,0 | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 0 | ||||||||
А3(а3=75) |
0,7
|
|
1,0 |
|
1,5 | 0 | ||||||||
|
1,2 | 2,0 | 2,0 |
|
|
0 |
Стоимость 1-ого плана:
D1=2•50+0,4•20+0,7•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=326.
Будем улучшать этот план методом потенциалов: ui- потенциал Аi ,vj- потенциал Bj. Тогда u1+v2=2,u2+v1=0,4, u3+v1=0,7, u3+v2=1, u3+v4=0,8, u4+v3=2, u4+v4=1,5, u4+v5=2,5 ,u4+v6=0.Положим u1=0,тогда v2=2,u3=-1,v1=1,7,v4=1,8, u2=-1,3,u4=-0,3, v3=2,3,v5=2,8,v6=0,3.Составим таблицу 3. :
Таблица 3. - Проведение итераций
Цеха Склад |
B1 (b1=40) v1=1,7 |
B2 (b2=50) v2=2 |
B3 (b3=15) v3=2,3 |
B4 (b4=75) v4=1,8 |
B5 (b5=40) v5=2,8 |
B6 (b6=5) v6=0,3 |
||||||||||||||
U1=0 |
|
|
|
|
|
0 | ||||||||||||||
|