Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами
Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть – одна из операций , . Предположим, что . Пусть – (нормальная) подгруппа группы и . Рассмотрим регулярное сплетение , где , – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 Ошибка! . Так как , то . Рассмотрим главный ряд группы :
Пусть . Так как и , то
для любого . Следовательно, , где . По свойству регулярного сплетения . Следовательно, , и по лемме 3.10 (Ошибка!) подгруппа является -группой. Так как и формация является по теореме 3.3 Ошибка! -замкнутой, то мы получаем, что . Теорема доказана.
Теорема Подуфалова, Слепова 2 Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация -замкнута (-замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого формация -замкнута (соответственно -замкнута).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что -замкнута (-замкнута). Полагая и применяя теорему 1, мы получаем, что -замкнута (-замкнута) для любого простого .
Достаточность. Пусть для любого простого формация является -замкнутой (-замкнутой). Пусть – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы . Покажем, что . Так как , то обладает -центральным главным рядом
Пусть . Так как
то , где . Пусть . По условию и . Отсюда, ввиду , вытекает, что . Тем самым установлено, что ряд
является -центральным рядом группы . Теорема доказана.
Для любого натурального числа -замкнутый класс содержит, по определению, каждую группу , представимую в виде произведения нормальных -подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.
Определение. Класс групп назовем слабо -замкнутым, , если содержит всякую группу , имеющую нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.
Легко заметить, что если и – подгруппы группы причем и взаимно просты, то .
Теорема Слепова 3 Пусть – локальный экран формации и пусть для некоторого натурального числа выполняется следующее условие: для любого простого формация либо совпадает с , либо входит в и является слабо -замкнутой. Тогда слабо -замкнута.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, не входящие в , но имеющие нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу наименьшего порядка. Таким образом, не принадлежит , но имеет нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами. Ясно, что все подгруппы неединичны.
Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . В подгруппы имеют попарно взаимно простые индексы и принадлежат . Так как для теорема верна, то . Ясно, что – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем и для любого . Ввиду теоремы 4.3 . Так как , то найдется такое , что . Рассмотрим , где пробегает все -главные факторы группы . Так как , то , . Возможны два случая.
Случай 1. Пусть . Тогда неабелева и . Отсюда и из единственности вытекает, что . Но тогда и, следовательно, можно рассматривать как некоторую группу автомор – физмов группы , действующую тождественно на всех -главных факторах группы . По хорошо известной теореме Ф. Холла нильпотентна. Так как к тому же нормальна в , то . Но тогда для любого , а так как формация слабо -замкнута по условию, то . Но тогда , так как и по условию . Получили противоречие.
Случай 2. Пусть . Тогда входит в и является -группой. Так как , то абелева. Пусть – максимальная подгруппа группы , не содержащая . Тогда , , , . Отсюда, ввиду единственности , заключаем, что , a значит, . По лемме 3.10 является -группой. Но тогда и является -группой, причем . Мы получаем, таким образом, что для любого . Но тогда , так как слабо -замкнута. Последнее означает, что -центральна в , что противоречит равенству . Снова получили противоречие.
Теорема доказана.
Следствие 4 Пусть группа имеет две нормальные -сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда -сверхразрешима.
Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, что построенный экран удовлетворяет условию теоремы 3 при .
Следствие 5 Пусть группа имеет две нормальные сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда сверхразрешима.
Теорема Слепова 6 Пусть формация имеет такой локальный экран , что для любого простого формация либо совпадает с , либо входит в и является -замкнутой. Тогда -замкнута.