Курсовая работа: Метод векторів та його застосування
Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α(+)=α+α, для , і α R.
Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо вектори =, =, =α, =α (мал. 11). Тоді +=, α+α=. Покажемо, що =α. Оскільки вектори і α , і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB=, а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того =α*=*. Тому =α*.
Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12).
Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α (+) = α+α.
Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β)=α+β, і α, β R.
Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).
1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) і α+β однаково напрямлені. Крім того,
;
.
Отже, і вектори (α+β) та α+β рівні.
2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β)=(-β+β)=0=0; α+β= -β+ β=0, отже, властивість справджується.
Якщо α-β, тоді –α, α+β або β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α)+ (α+β)=(-α+α+β)=β(α+β)= α+β, що і треба було довести.
2. Колінеарність векторів
Означення. Два ненульових вектори і називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.
Позначення: ||(мал. 13).
Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.
Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α. /1/
Доведення.
1. Необхідність. Нехай ||. Тоді або , або . Якщо , то =, оскільки ц вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: ==. Позначивши α =, дістанемо =α. Якщо , то аналогічно доводиться, що = -. Нехай α = -, тоді також = α.
2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.
Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.
Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси формально можна написати: α =, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.
Відношення : двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте з знаком «плюс», якщо вектори і однаково напрямлені, і з знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.
3. Компланарність векторів
Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними
якщо відповідн м напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.
Очевидно, що коли компланарні вектори ,, відкласти від довільно точки O (=, =,=), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).
Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, як лежать в одній площині.
Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ц вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них нема колінеарних.
Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,, компланарні, а вектори , неколінеарні, то снують єдині числа α, β такі, що: = α + β. /2/
Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.
Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =, =. Оскільки ц вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій.
Можливі два випадки:
1. Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори і колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = β, де β – деяке число. Отже, =0*+ β, тобто має місце розклад /2/.
2. С (ОВ). Проведемо || OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника =+. Але ця рівність можлива тільки тоді, коли α =, β =. Дійсно, якби, наприклад, α , то було б, ||, що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора за векторами і . Теорему доведено.