Реферат: Исследование функций
max min
4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.
| х | (–¥; 0) | 0 | (0; +¥) |
| у'' | – | – | + |
| у | выпукла вверх | – | выпукла вниз |
| функция не определена |
Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.
5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:
а) х = 0 – вертикальная асимптота;
б) у = х – наклонная асимптота.
6. Точек пересечения с
осями координат у данной функции нет, так как 
, при
любых х Î ú, а х = 0 Ï D(у).
7. По полученным данным строим график функции:
Пример 10. Построить график функции 
.
Решение.
1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).
2. 
– функция нечетная. Следовательно, график
функции будет симметричен относительно начала координат.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
3х2 – х4
= 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2
= 
, х3 = 
.
| х |
(–¥; |
|
( |
–1 | (–1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 |
(1; |
|
( |
| у' | – | 0 | + | – | + | 0 | + | – | + | 0 | – |
| у |
|
2,6 |
|
– |
|
0 |
|
– |
|
–2,6 |
|
)
; 0)
)
; +¥)
4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:
х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
| х | (–¥; –1) | –1 | (–1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (0; +¥) |
| у'' | + | – | – | 0 | + | – | – |
| у |
выпукла вниз |
– |
выпукла вверх |
0 | выпукла вниз | – |
выпукла вниз |
| перегиб | |||||||
5. Найдем асимптоты функции:
а) х = –1, х = 1 вертикальные асимптоты.
Действительно:
б) у = kx + b.
,
Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота.
6. Найдем точки пересечения с осями координат:
х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
7. Строим график:
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: Тетрасистемс, 1998. – 415 с.
2. Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие.– Мн.: ЧИУиП, 2007.– 20 с.
