Быстрый поиск

Реферат: Случайные вектора

Подставим (52.2) в (52.3), тогда

. (52.4)

Представим вероятности в (52.4) через плотности вероятностей, тогда

(52.5)

Это соотношение определяет условную функцию через плотности и . Отметим, что для независимых случайных величин и совместная плотность . При этом, как следует из (52.5), условная функция - не зависит от аргумента (т.е. не зависит от событий вида .

Аналогично (52.3) можно определить функцию случайной величины при условии, что , и затем получить выражение аналогичное (52.5)

. (52.6)

Условная плотность вероятности

Условной плотностью распределения вероятностей случайной величины при условии называется функция:

. (53.1)

Соотношение (52.5) подставим в (53.1), тогда

. (53.2)

Отсюда следует

. (53.3)

- формула умножения для плотностей. Эта формула аналогична формуле умножения вероятностей. Очевидно,

. (53.4)

Данное равенство является аналогом формулы полной вероятности.

Аналогично (53.1) вводится условная плотность распределения вероятности случайной величины при условии как функция вида:

. (53.5)

Отсюда и из (52.6) следуют соотношения:

, (53.6)

. (53.7)

В (53.6) подставим (53.3) и (53.4), тогда:

. (53.8)

Это соотношение аналогично формуле Байеса. Здесь случайные величины и можно поменять местами, тогда получим также верное соотношение для условной плотности , которая определяется через функции и .

Числовые характеристики двумерного случайного вектора

54.1. Пусть случайные величины и имеют совместную плотность вероятности и - функция двух переменных. Тогда - случайная величина, полученная подстановкой случайных величин и вместо аргументов и .

Математическим ожиданием случайной величины называется число

. (54.1)

Если , , тогда из (54.1) следует

, , . (54.2)

Числа называются начальными смешанными моментами порядка случайных величин и . Эти числа применяются в качестве статистических характеристик двумерного случайного вектора. Рассмотрим частные случаи (54.2). 1). , тогда - начальный момент порядка случайной величины . При дополнительном условии получаем - математическое ожидание случайной величины , при - - среднее ее квадрата и т.д. Таким образом, при смешанные моменты (54.2) совпадают с начальными моментами случайной величины . 2). Если положить , тогда - смешанные моменты совпадают с начальными моментами случайной величины . В обоих случаях получаем индивидуальные характеристики одной из случайных величин. 3). Для получения групповой характеристики (54.2), отражающей свойства совокупности двух случайных величин, необходимо рассмотреть ненулевые . Наиболее простой вариант: , . При этом из (54.2) следует

. (54.3)

Число называется корреляцией случайных величин и и представляет собой важнейшую характеристику совокупности двух случайных величин.

Если и - независимы, то и (54.3) преобразуются следующим образом:

, (54.4)

где и . При этом выражается через индивидуальные характеристики и , т.е. каких-либо групповых эффектов в не проявляется, что является следствием независимости случайных величин и . Из цепочки преобразований (54.4) следует равенство - математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

54.2. Аналогично (54.2) числа

(54.5)

называются центральными смешанными моментами, порядка . Наиболее важной групповой характеристикой двух случайных величин среди чисел (54.5) является ковариация

, (54.6)

которая является центральным смешанным моментом порядка . Для ковариации используется также обозначение: . Если , то - совпадает с дисперсией случайной величины .

Если и - независимы, то из (54.6) следует, что ковариация

Обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. из равенства в общем не следует независимость случайных величин и . В частности, обратное утверждение справедливо, если и - гауссовы случайные величины. Более подробно этот вопрос обсуждается ниже.

54.3. Найдем связь между корреляцией и ковариацией случайных величин и . Из определения ковариации (54.6) следует

Таким образом, ковариация и корреляция связаны соотношением

. (54.7)

Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации

55.1. Пусть случайные величины и имеют математические ожидания , , дисперсии , , корреляцию и ковариацию . Рассмотрим неравенство

. (55.1)

Возведем в квадрат, затем оператором математического ожидания подействуем на каждое слагаемое, тогда (55.1) принимает вид:

что далее сводится к неравенству

. (55.2)

Его левая часть может быть как положительной так и отрицательной, правая часть - только положительна. Поэтому неравенство (55.2) обычно записывается в более сильном варианте:

. (55.3)

Таким образом, корреляция случайных величин и принимает значения из интервала .

Соотношение, аналогичное (55.3) можно получить и для ковариации , если в исходном выражении (55.1) вместо подставить центрированную случайную величину и вместо соответственно . При этом необязательно выполнять все преобразования, аналогичные (55.1) - (55.3), достаточно учесть, что замена и приводит к замене на , на , а также на . Поэтому из (55.3) следует

. (55.4)

55.2. Неравенства, определяющие область значений корреляции и ковариации , аналогичные (55.3), (55.4), можно получить в другом виде на основе следующего очевидного неравенства: