Быстрый поиск

Реферат: Використання комп’ютерів у фізиці

Реферат

"Використання комп’ютерів у фізиці"

1. Значення комп’ютерів у фізиці, природа чисельного моделювання.

1.1. Вступ.

Комп’ютер виступає у ролі експериментальної установки для проведення фізичних дослідів, причому потрібно самому проводити дослід і інтерпретувати результат.

Чисельне моделювання наближається до традиційних методів: експериментального і теоретичного.

Згідно з китайським прислів’ям: “Я чую і забуваю, я бачу і запам’ятовую, роблю і осягаю представлено представлено роботу з пропонованим матеріалом. Розділи містять необхідні фізичні поняття, за якими йдуть тексти програми, задачі і контрольн питання. Тексти програми вводимо із клавіатури.

1.2. Використання комп’ютерів.

а) Чисельний аналіз, наприклад, взяти багатовимірний інтеграл, провести операцію з великою матрицею, розв’язати складне диференціальне рівняння.

б) Символьне перетворення або аналітичне перетворення виразів, наприклад виразу

в) Моделювання наприклад, обміну грошима (енергією) 100 учнів по 10$ і вчитель10$ обмінюються 0.5$ тільки з учителем.

г) Використання комп’ютерів допомогло знайти нові спрощуючі принципи.

д) Керування процесами в реальному часі. Проектування апаратури, керування, збір і аналіз даних.

Важливість чисельного моделювання проявляється в тому, що більшість систем, що аналізуються нелінійними, а аналітично їх можна розв’язати в окремих лінійних випадках. Більшість систем має велике число ступенів вільності або змінних. Розвиток комп’ютерних технологій привів до нового погляду на фізичні системи. До формування законів у вигляді правил для комп’ютерів.

Для початку моделювання формують ідеалізовану модель фізичної системи. Чисельний експеримент мостом між лабораторними експериментами і теоретичними розрахунками. Однак чисельне моделювання не усуває розміркування, а є інструментом що використовують для осягнення складних явищ.

Мета досліджень фундаментальних явищ у пошуку пояснень, які можна записати на конверті, або представити на пальцях.

Відмітимо важливість графіки для наочного представлення функцій, наприклад,

Важливим критерієм якості програми є її “читабельність”, бо є аналогія між добре написаною програмою і добре написаним документом.

Потрібно завести журнал де будуть записані програми, результати, видані комп’ютером графіки аналіз даних. Цим ви виробите навики ведення дослідницьких проектів, приведете у порядок думки зекономите час. Журнал знадобиться для написання лабораторного звіту, або міні дослідження за програмами, результатами, аналізу даних і їх інтерпретації.

2. Метод Ейлера розв’язування диференціального рівняння на прикладі закону теплопровідност Ньютона.

2.1. Основн поняття.

Якщо різниця температур об’єкта і середовища не велика то

де r - коефіцієнт остигання, залежить від механізму теплопередачі, площі поверхні та теплових властивостей тіла.

Зміна температури за законом теплопровідності Ньютона має вигляд диференціального рівняння 1-го порядку

Часто розв’язок у аналітичному виді представити не можливо.

2.2. Алгоритм Ейлера (метод дотичних).

Представимо рівняння у різницевому вигляді в x0, y=y0, на малому , g(x,y) стала

y1 = y(x0 ) + y(x0 ) + g(x0, y0 ) x

Повторюючи знайдемо

y2 = y(x1+x) y(x1) + g(x1, y1 ) x

yn= yn-1+ g(xn-1 ,yn-1) x, (n=0,1,2…)

нахил дотично визначається початковою точкою інтервалу.

2.3. Програма для комп’ютера.

Алгоритм методу.

1. Вибирається початкова умова, величина кроку і кількість ітерацій (кроків).

2. Визначається y нахил у початковій точці відрізку.

3. Обчислюється y у кінцевій точці відрізку і друкується результат.

4. Кроки 2 і 3 повторюємо необхідне число раз.

3. Розв’язування задач руху.

3.1. Основн поняття.

1. Об’єкт, що рухається, розглядають, як матеріальну точку, тобто такий, що нема внутрішньої структури.

Розглянемо задачу падіння тіл поблизу поверхні землі.

Одновимірний рух:

y(t) координата, v(t) – швидкість, a(t) – прискорення.

За означенням:

v(t)=dy(t)/dt, (1)

a(t)=dv(t)/dt. (2)

Це кінематичн величини, бо описують рух безвідносно до причини, що його викликає.

Ньютон вказав, що прискорення пропорційне силі, що діє на тіло:

a(t)= F(y, v, t) /m, (3)

m – інертна маса.

Бачимо, що рух матеріальної точки не залежить від похідних координати по часу вищих ніж друга. Можемо звести рівняння до одного:

d2y(t)/dt2=F(y, v, t)/m. (4)

3.2. Сили, що діють на падаюче тіло.

Якщо опором повітря знехтувати, то розглядаємо вільне падіння g=9,8 м/с2 , тому a = g. Розв’язок (4) можна записати:

v(t)=v0+gt,

y(t)=y0 +v0t+(1/2)gt2.

Розв’язок буде складнішим, якщо враховувати зміну прискорення в залежності від відстані до центра Землі:

F = GMm/(R+y)2 = gm/(1+y/R)2, g = GM/R.

Іншою важливою модифікацією є врахування гальмівної сили, зумовленої опором повітря. Напрямок сили опору середовища протилежний до напряму швидкості. Запишемо силу, що д на матеріальну точку:

F = Fg - Fd = mg - Fd.

Для знаходження Fd (v) – залежності гальмівної сили від швидкості, можна скористатись експериментальною залежністю y(t).

Для Fd (v) приймається певний вид залежності від v, і ця формула використовується для знаходження функції y(t). Якщо обчислені значення узгоджуються з експериментальними, то прийнята залежність Fd (v) вважається експериментально підтвердженою.

Найбільш загальн залежності:

Fd(v)=k1v, Fd(v)=k2v2,

де k1, k2 – залежать від властивостей середовища і геометрії тіла. Записан залежності - корисні феноменологічні вирази, що наближено описують силу у обмеженому діапазоні швидкостей.

Через те, що сила опору є зростаючою зі швидкістю існує гранична швидкість, така що встановлюється, за умови рівності нулю прискорення або сили:

Fg = Fd,

v1 = mg/k1, v2 = (mg/k2)1/2.

Часто зручно вимірювати швидкість в цих одиницях.

Fd = k1v1(v/v1), Fd = k2v22(v/v2)2.

Отже рівнодійна сили, що діє на тіло

F1(v) = mg(1 - v/v1), F2(v) = mg(1 - (v/v2)2).

Реальні дані: m = 10-2 кг, r = 0.01м, k2 = 10-4 кг/м. Можна знайти v2 = 30 м/с, цю швидкість має вільне тіло за 3 с пролетівши 50 м без опору повітря. Отже опір повітря грає суттєву роль.

3.3. Чисельний розв’язок рівняння руху.

Узагальнимо метод Ейлера на рівняння другого порядку. Позначимо через dt – крок по часу, тоді tn що відповідає n – кроку

tn = t0 + n dt.

Позначимо на n кроці an, vn, yn. Пряме узагальнення набуде вигляду

vn+1 = vn + an dt, yn+1 = yn + vn dt.

Значення у наступній точці визначається через значення у початковій точці. Можна ввести зміну:

vn+1 = vn + an dt, yn+1 = yn + vn+1 dt.

Це модифікований метод Ейлера, метод Ейлера – Кромера, що виконує наближення за наступною точкою.

4. Задача Кеплера.

4.1 Вступ.

Значний вплив на світогляд людини справили закони руху і всесвітнього тяжіння.

Знання про рух планет об’єднали закони Кеплера.

1. Будь-яка планета рухається за еліптичною орбітою у одному з фокусів якої знаходиться сонце.

2. Швидкість планети зменшується у міру віддалення її від Сонця таким чином, що пряма, що з’єдну Сонце і планету за рівні проміжки часу замітає однакову площу.

3. Для всіх планет, що обертаються навколо Сонця, відношення T2/a3 однакове (T-період обертання планети навколо Сонця, а - велика піввісь еліпса).

4.2. Рівняння руху планет.

Задачу двох тіл зводимо до задачі одного тіла.

Перший спосіб. Мс>>mз, з Сонцем можна зв’язати початок системи координат.

Другий спосіб. Якщо потенціальна енергія залежить тільки від відстані між тілами M і m, зводимо до руху одного тіла масою

m з=5.99 1024 кг, Mc=1.99 1030 кг

Отже .

Кілька планет, що взаємодіють між собою і з Сонцем. Чи починаючи з випадкових орбіт прийдуть вони у плоску систему?

Чи газова хмаринка розділиться на планети?

Закон всесвітнього тяжіння.

F= - (1)

Частинка М притягує m з силою F, r напрямлено від M до m.

G = 6.66 10-11

‘-’ означає, що гравітаційна сила є силою притягання.

Закон відноситься до тіл малих точкових розмірів, або для однорідної кулі, сферичної оболонки, якщо вимірювати від центра маси. Зауважимо, що Ньютон 20 років не публікував цього закону.

Сила тяжіння залежить від відстані між тілами і напрямлена вздовж лінії, що їх сполучає. Це центральна сила. З цього слідує, що орбіта Землі лежить у площині хоу, а момент імпульсу L зберігається спрямований вздовж OZ, запишемо Lz у виді Lz=[r mv]z=m(xvy - yvx).

L = [r p] ; p =[mv].

Крім того, рух обмежує закон збереження повної енергії Е:

E = mv2/2 GmM/r.

З малюнка одержимо:

cos = x/r, sin = y/r.

Пов’яжемо систему з масою М, рівняння руху буде:

m(d2/dt2) = - (GmM/r3).

Запишемо силу у декартових координатах:

Fx = F cos = - (GMm/r2) cos = - (GMm/r3) x,

Fy = F sin= - (GMm/r2) sin = - (GMm/r3) y.

Отже, рівняння руху матиме вигляд:

d2x/dt2 = - (GM/r3) x,

d2y/dt2 = - (GM/r3) y,

r2 = x2 + y2.

Маємо систему диференціальних рівнянь.

4.3. Рух по колу.

Одержимо умову руху тіла за коловою орбітою:

a = v2/r,

зумовлене гравітаційною силою:

mv2/r = GMm/r2

або

v = (MG/r)1/2.

Це є умова колової орбіти.

T = 2r/v

залежність періоду від радіуса знайдемо.

(2r)2/T2 = MG/r,

T2 = (2)2r3/MG – частинний випадок з закону Кеплера.

4.4. Еліптичн орбіти.

Опишемо властивості еліптичних орбіт:

F1 і F2 фокуси еліпса. Для будь-якої точки Р.

F1Р + F2Р = const = 2a, остання рівність слідує з P(a, 0),

a – велика піввісь, b – мала піввісь.

В астроном використовують a і e – ексцентриситет.

Відношення:

e = /2a,

пов’яжемо з b.

Нехай Р(0, b):

(ea)2 + b2 = a2,

e = (1 – b2/a2)1/2, причому 0<e<1

В частинному випадкуb = a еліпс стає колом і . Для орбіти Землі е =0.016.

4.5. Астрономічні одиниці

Зручно вибрати таку систему одиниць щоб . Для опису руху Землі, у якості просторової одиниці, вибирають велику піввісь земно орбіти. Вона називається астрономічна одиниця (а.о.), яка рівна 1а.о.=1.496 1011м.

У якості одиниць часу приймають 1рік = 3.15 1017с. У цих одиницях

Т=1рік, а=1а.о.

можемо записати

4.6. Зауваження до програмування

Будемо користуватись масивом чисел

/ Коментар, Основна програма

DECLARE SUB ff(y) – об’явити підпрограму

REM Коментар

REM PROGRAM

CALL ff(x) – викликати підпрограму

END

SUB name [( parameterlist)]

END SUB

FOR I=1 to n,

де I – змінна циклу.

PRINT y,z вида на екран y, z

INPUT x, y - ввід даних

Точність чисельного розв’язку визначають, зменшуючи величину кроку до того часу, поки чисельний розв’язок не перестане залежати від кроку при заданому рівн точності, але це має виконуватись обережно, бо зростає число кроків і похибка округлення.

Найпростіша графіка.

CLS – очистити екран;

SCREEN 12 графічна сторінка;

LINE (x1,y1) (x2,y2), color, B – не замальовує рамку, якщо BF – замальовує.

CIRCLE (x1,y1), radius, PSET (x,y) – засвітити точку, PRESET (x,y) – погасити точку.

DO [white: until] condition

LOOP

LOOP [{white: until}]

Оператор друкування по місцю:

LOCATE 5,5

VIEW PRINT 10 TO 15

Зупинка циклу з клавіатури при натисканні на клавішу “h”

DO UNTIL INKEY$ = h”

Задати логічн координати екрану

SCREEN 12

WINDOW (x1,y1)-(x2,y2)

Друкувати дані по формату експоненційної форми

PRINT USING ##.###^^^^”;x

4.7. Простий гармонічний осцилятор.

m d2x/dt2 =-kx;

F = - kx повертаюча сила, нехай w02=k/m. Розв’язок цього рівняння можемо представити у наступному вигляді

x(t)=Acos(w0t + ).

A,  - амплітуда і фаза визначаються з початкових умов.

Перевіркою правильності роботи програми може бути умова збереження повної енергії.

E = mv2/2 +kx2/2.

Рівняння руху, що описує затухаючі коливання

d2x/dt2 =-02x – g dx/dt + F(t)/m;

де другий доданок гальмуюча сила, третій – вимушуюча сила

F(t)/m = A0cos(wt).

Математичний маятник довжиною L.

Швидкість точки, що рухається по колу v = L dq/dt, тангенціальне прискорення a = L d2q/dt2.

Рівняння руху матиме вигляд

d2x/dt2 = - mg sinq.

Повна енергія представиться формулою

E = mL2 (dq/dt)2 /2 + mgL(1 – cosq).

8. Хвильові явища

Моделюємо лінійний ланцюг зв’язаних осциляторів. Виділимо властивості ланцюга, що відносяться до хвильових явищ. У наближенні неперервного ланцюжка виводиться лінійне хвильове рівняння. Демонструються інтерференція, дифракція, рефракція поляризація. Розглядаємо ряд Фур’є і принцип Ферма.

8.1. Вступ

Для опису коливального і хвильового руху використовують такі поняття як період, амплітуда частота. Як пов’язані ці величини. Розглянемо натягнутий шнур.

Імпульс розповсюджується по ньому зі швидкістю, що визначається натягом і інерційними властивостями шнура. Рух ділянки локалізований і здійснюється перпендикулярно руху хвилі.

На макроскопічному рівні спостерігаємо поперечну, хвилю на мікроскопічному рівні дискретн частинки здійснюють коливний рух.

Почнемо з мікроскопічної картини і розглянемо коливний рух лінійного ланцюга частинок сполучених пружинками. Рух моделюється, чисельно розв’язуючи рівняння руху для окремої частинки.

Побачимо, що енергія передається вздовж ланцюга, хоча кожний осцилятор знаходиться поблизу свого положення рівноваги.

Побачимо, що найзагальніший рух системи N часток можна представити як суперпозицію N незалежних простих гармонічних рухів.

8.2. Зв’язан осцилятори.

Розглянемо простішу ніж у попередніх розділах модель.

Нехай ui-зміщення маси вздовж осі системи.

Кінці ліво правої частинок нерухомі. Нерухомість виразимо U0 = UN+1=0.

Рівняння руху і- частинки

, i=2, …, N-1