Учебное пособие: Замкнутые системы управления
Рис. 15
Рассмотрим передаточную функцию всей системы по управляющему воздействию
=.
,
- коэффициент передачи ЭП по управляющему воздействию .
Рис. 16
Рассмотрим передаточную функцию по возмущающему воздействию
при Uп = 0
Характер переходного процесса по управляющему воздействию определяется корнями характеристического уравнения
ТмТэp2+Tмp+1=0.
- корни уравнения будут вещественными отрицательными при Тм<4Tэ- апериодический характер ПП;
- корни комплексные сопряженные при -колебательный характер ПП.
Числитель передаточной функции по возмущающему воздействию представляет собой параллельно включенное дифференциально-пропорциональное звено. Наличие дифференциальной составляющей повышает динамичность ПП.
С учетом Wув(p) и Wвв(p) структурная схема ЭП может быть представлена в виде
Рис. 17
Рис. 18
Или в статике при р=0
т.е. . уравнение механической характеристики.
Методы исследования устойчивости.
Создание замкнутых систем требует решения следующих задач:
1.Определение факта динамической и запаса устойчивости.
2.Синтез корректирующих устройств, т.е. придание систем заданных динамических показателей.
Алгебраические методы.
Введение ОС изменяет структуру системы, оказывая влияние на ее устойчивость и характер переходного процесса по сравнению с разомкнутой системой.
Передаточная функция разомкнутой системы в общем виде может быть представлена
Динамические характеристики замкнутой системы зависят от порядка характеристического полинома Р(р) .
Например, для инерционного звена охваченного отрицательной обратной связью увеличивается свободный член в полиноме знаменателя
, .
Для звена охваченного положительной обратной связью
.
Рис. 19
C увеличением kc уменьшается коэффициент усиления замкнутой системы.
Кривая 1 пройдет ниже-2.
В зависимости от kkc возможны три случая :
1. kkc<1.Передаточная функция соответствует апериодическому звену.
2. kkc=1. Передаточная функция соответствует интегрирующему звену
- прямая 3.
3. kkc>1. Корень уравнения положительный. Система неустойчива-4.
Разомкнутая САУ с характеристическим полиномом 2-го порядка соответствует колебательному звену. Передаточная функция замкнутой системы также колебательное звено. Корни уравнения:
; .
-разомкнутая
;
-замкнутая
.
Из условия для разомкнутой системы получим
,
для замкнутой
,
с ростом kkc увеличивается склонность к колебательному процессу.
Однако при любых kkc замкнутая система остается устойчивой, т.к. у обоих корней вещественная часть отрицательная.
Этот метод анализа называется корневым методом.
Критерий Гурвица.
Согласно критерию замкнутая система устойчива если
, .
Этот критерий позволяет определить факт устойчивости: главный определитель и его диагональные миноры должны быть >0.
3. В системах высоких порядков, при большой Тос могут возникнуть колебания. Это можно исследовать по диаграмме Вышнеградского.
Из характеристического уравнения 3-го порядка определим координаты M,N.
p3+b1p2+b2p+b3=0
;
1-монотонный процесс
2-сходящийся колебательный
3-монотонный колебательный
4-неустойчивая область
Частотные методы.
1.Найквиста - позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутой. Соответственно передаточная функция разомкнутой системы заменяется p ® jwи строится АФХ на комплексной плоскости. Если АФХ не охватывает точку (-1; j0) то замкнутая система устойчива.
2.Михайлова определяет устойчивость замкнутой системы. Система устойчива, если при увеличении w от Æ до ¥ конец вектора на комплексной плоскости опишет кривую, которая начинается на (+)-й части вещественной оси и последовательно обойдет против часовой стрелки n-квадратов, где n – порядок характеристического уравнения.
3.Метод вещественно-частотной характеристики и ЛАЧХ.
Методы графические и графо-аналитические (методы Башарина и Суворова), методы цифрового и аналового моделирования.
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С
СУММИРУЮЩИМ УСИЛИТЕЛЕМ
Упрощенная принципиальная схема регулятора w ЭП постоянного тока с отрицательной обратной связью по напряжению, току и скорости на рисунке 20.
Рис. 20
На рисунке приняты следующие обозначения:
М- ДПТ с независимым возбуждением;
ТП- тиристорный управляемый преобразователь;
УС- сумматор-инвертор на базе УПТ с коэффициентом усиления 1;
УК- корректирующее устройство на базе УПТ;
Rш- шунт датчика тока;
Rп- делитель напряжения (датчика напряжения);
ТГ- тахогенератор;
ДТ, ДН, ДС- датчики тока, напряжения, скорости (усилитель, преобразователь, фильтр).
СУЭП строятся на типовых элементах УБСР: УБСР-А (аналоговые), УБСР-Д (дискретные), УБСР-АИ, УБСР-ДИ (с интегральными составляющими в регуляторах).
В состав УБСР входят источники питания, задатчики входных сигналов, датчики измерения регулируемых параметров, усилители, корректирующие устройства КУ, гальванические развязывающие устройства; устройства защиты УЗ, устройства коммутации, устройства логики УЛ и т.д. Основной элемент аналоговой серии УБСР-АИ является УПТ (операционный усилитель) на микросхемах К553УД2 и К140УД7.
К140УД7 - операционный усилитель с внутренней коррекцией АЧХ,
коэффициент усиления - Ку=(2¸3)104;
напряжение питания - Uпит ± 15В;
входное напряжение - Uвых = 10В.
УС - операционный усилитель для суммирования задающего сигнала U3 и сигналов обратной связи: Uот, Uон, Uос.
Если R3 = Rc = Rн = Rт + Rос, коэффициент усиления равен 1.
Ue =U3 - Uон - Uот - Uос.
УК- операционный усилитель, может выполнять функцию:
инвертора напряжения, если Zвх = Zос = R;
усилителя напряжения с К = Rос/Rвх, если Zос = Roc, Zвх = Rвх; Roc ¹ Rвх;
корректирующего устройства, структура и параметры которого определяются характером комплексных сопротивлений Zвх и Zoc.
В этом случае КУ может быть интегральным, дифференциальным, пропорционально- интегральным регулятором и т.п.
Датчики: для получения сигналов обратных связей.
Основные четыре вида датчиков: скорости, напряжения, тока и положения. Датчики момента, усилия, мощности получают путем соответствующей обработки сигналов датчиков тока и напряжения.
Датчики скорости: аналоговые и дискретные.
Аналоговые - тахогенераторы постоянного тока (серии ПТ) и переменного тока (серии ТТ).
Дискретные - модуляция источника света на фотоприемник.
Датчики тока и напряжения должны обеспечить гальваническую развязку сигнала обратной связи от силовой цепи. Датчики системы УБСР обеспечивают гальваническую развязку до 1000В, а датчики тока и магнитного потока, использующие эффект Холла - несколько тысяч вольт. Сигнал на ДТ снимается с шунта или трансформатора тока, на ДН- с делителя напряжения. Сигнал усиливается, выпрямляется (после демодуляции в устройстве гальванической развязки) и фильтруется (RС- фильтр).
Пример датчиков тока и напряжения производства ХЭМЗ:
ДТ- ЗАИ и ДН- 2АИ.
ДТ подключается к шунту, сигнал гальванически развязан, Uвых=±10В; Кус=35- 135 погрешность менее 1%; на выходе RС фильтр с постоянной времени tф = 2мс.
Командные устройства:
1) Бесконтактные сельсинные командоаппараты с ручным приводом - для ввода задания.
Тип СКАЗ- 41, Uпит = 110В, f=50Гц, Uвых снимается с роторной обмотки; угол a=±60о.
2) Задатчик скорости - для систем автоматического регулирования скорости.
Блоки задания скорости: БЗС - на базе б/к сельсина БД- 404, связано с исполнительным двигателем РД- 09. Угол поворота задается микровыключателями.
БЕШД - б/к сельсин с приводом от шагового двигателя через редуктор.
БСР - задатчик скорости реостатного типа с приводом от РД-09 через редуктор. Интенсивность роста задающего напряжения задается заменяемым редуктором с различными коэффициентами передачи. На выходе сельсинов устанавливается фазочувствительный усилитель ФВ-1АИ с Uвых=±10В.
Реализация регуляторов.
Регуляторы в системе неподчиненного регулирования строятся на базе ОУ, которые имеют специальные свойства:
-выход усилителя инверсный по отношению ко входу.
-ОУ может и должен работать в условиях действия глубоких ОС, вплоть до закорачивания вход/выход.
П - регулятор.
.
Рис. 21
И - регулятор.
Д - регулятор.
Рис. 22
выходной сигнал - импульс ¥ амплитуды и Æ длительности.
Является источником высокочастотной помехи.
Рис. 23
ПИ - регулятор.
где Кп- коэффициент усиления пропорциональной части ПИ-регулятора;
Ти- постоянная времени интегральной части;
.
Рис. 24
ПИД - регулятор.
Передаточная функция звена будет иметь вид:
.
Апериодический регулятор.
Тогда
- апериодическое звено;
То=СосRoc;
или
.
Реализация сложных регуляторов по их передаточным функциям.
Сложный регулятор - регулятор, который не может быть реализован на одном ОУ.
Рис. 25
Регулятор скорости с отрицательной обратной связью по скорости
Рассмотрим статические и динамические характеристики регуляторов скорости с различными видами обратных связей. При этом понимаем, что все элементы , образующие систему , являются линейными стационарными .
Структурная схема системы регулирования скорости с обратной связью по скорости представлена на рис.10-3
На структурной схеме (Рис.10-3.) приняты следующие обозначения:
R(Р)- передаточная функция регулятора;
- датчик скорости;
Тс - постоянная времени фильтра;
Kc- коэффициент передачи обратной связи по скорости;
Kп, Тп- коэффициент усиления и постоянная времени тиристорного преобразователя;
Тэ, Тм - электромагнитная и электромеханическая постоянная времени двигателя;
;
Rэ и Lэ- эквивалентные сопротивления и индуктивность якорной цепи;
1/Кд=C- внутренняя отрицательная обратная связь по ЭДС двигателя,
C- постоянная двигателя при Ф=const. C=кф;
Тэ=Lэ/Rэ;
J-момент инерции двигателя с рабочей машиной.
Статический регулятор скорости
Регулятор пропорционального типа с коэффициентом передачи Кр.
Определение статических характеристик:
w=f(U3); w=f(Icт), т.е. зависимости скорости от задающего и возмущающего воздействия.
Преобразуем структурную схему: вынесем возмущение Iст из замкнутого контура, затем преобразуем замкнутый контур двигателя в динамическое звено без обратной связи (Рис. 10-4.).
Положив в полученной схеме р=0,что соответствует установившемуся режиму получим :
где К=Кр×Кп×Кс×Кд- коэффициент усиления разомкнутой системы;
В разомкнутой системе :
wор = Кр×Кп×Кд U3 -скорость идеального холостого хода;
Dwр = Кд×Rэ×Iс-падение скорости;
следовательно: w03 = wор/(1+К); Dw3с = Dwр/(1+К).
На рис. представлены статические характеристики
а) при IС=0;
в) при.
Т.к. в прямой цепи замкнутого контура системы нет идеального интегрирующего звена, рассматриваемая система является статической как по возмущающему (Iс), так и по управляющему (U3) воздействиям и имеет статические ошибки по этим воздействиям.
Определим статическую ошибку по возмущающему воздействию Iс. т.е. выражение для DwI совпадает с величиной падения скорости в замкнутой системе.
Рисунок 10-6- статическая характеристика DwI = f(Ic).
Характеристика построена для w03=const для различных коэффициентов усиления К2>К1>0.
Статическая ошибка по возмущающему воздействию прямо пропорциональна величине нагрузки, характеризуемой Iс, и обратно пропорциональна коэффициенту усиления К.
Статическая ошибка по управляющему воздействию U3
Ueо- статическая ошибка по управляющему воздействию замкнутой системы при Iс = 0,
DUeI- приращение статической ошибки, обусловленное Iс.
DUe увеличивается с возрастанием нагрузки Iс Рис. 10-7.
При К=¥ DUe=0.
Динамические характеристики:
для оценки влияния отрицательной обратной связи по скорости, типа и параметров регулятора на свойства регулятора скорости сравним передаточные функции (п.ф.) разомкнутых и замкнутых систем регулирования W.
Примем Тс и Тп равными 0 ввиду их малости по сравнению с Тэ и Тм. Передаточная функция системы по управляющему воздействию:
.
Линейная стационарная система второго порядка всегда устойчива. Предельный коэффициент усиления Кпр = ¥. Качество переходного процесса полностью определяется относительным коэффициентом демпфирования x и собственной частотой колебания Wо (при x = 0).
Собственная частота Wо характеризует быстродействие системы; чем больше Wо, тем быстрее затухает переходной процесс.
Для разомкнутой системы :
При x<1- переходной процесс колебательный затухающий.
При x>1- переходной процесс апериодический.
При x=0- незатухающие гармонические колебания.
x-коэффициент демпфирования.
Передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию
Для замкнутой системы:
То есть, жесткая отрицательная обратная связь по скорости увеличивает Wо и уменьшает x3 в раз. Значит с ростом К возрастает скорость затухания и уменьшается колебательность (перерегулирование) переходного процесса. Жесткая отрицательная обратная связь по w улучшает устойчивость, т.к. уменьшается Тм и ТэТм в (1+К) раз. Аналогично исследуются переходные процессы, обусловленные действием нагрузки в виде ударного приложения Мс (или Iс = КдМс) к валу двигателя.
Переходная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию:
где Iд, Mд- динамические ток и момент.
Если Р=0 (установившийся режим) Iд = Iс ;
Мд =Мс.
На кривых переходного процесса w = f(t) и
Мд = f(t) (Рис. 10-8.) наибольшее отклонение скорости Dwдин от ее начального значения называют динамическим падением скорости, а статическую ошибку DwI- статическим падением скорости.
Отклонение характеризует перерегулирование по скорости, а отношение DМд/DМ дуст - по моменту.
АСТАТИЧЕСКИЙ РЕГУЛЯТОР СКОРОСТИ
Рассмотрим характеристики САР скорости с ПИ- регулятором. Структурная схема аналогична рассмотренной ранее для статического регулятора скорости, передаточная функция регулятора:
Передаточные функции разомкнутых и замкнутых систем по управляющему воздействию.
где Кv=КпКдКс/tо - коэффициент усиления разомкнутой системы по w.
Из структурной схемы и передаточной функции следует, что регулятор скорости является астатической системой с астатизмом первого порядка, как по управляющему, так и по возмущающему Iс воздействиям. Следовательно: статические ошибки DwI и DUe равны нулю, однако устойчивость системы ухудшается, т.к. интегратор вносит фазовый сдвиг в замкнутый контур- 90о на всех частотах. Это так же следует из выражения для предельного коэффициента системы.
Кvпр = 1/(Тэ- tR);
т.е. Кvпр имеет предельное значение. Оптимальное значение постоянной времени регулятора с точки зрения устойчивости tRотп = Тэ. В этом случае Кvпр = ¥.
Регулятор скорости с отрицательной обратной связь по току.
На рис представлена структурная схема САР с обратной связь по току.
Кт/(Тт+1)- датчики тока$;
Кт- коэффициент передачи ОС по току;
Тт- постоянная времени фильтра/
Преобразуем структурную схему на рис к виду рис
Учитывая, что в статическом режиме р=0, Iд = Iс
,
(+)- при положительной обратной связи по току.
(-)- при отрицательной обратной связи по току.
Скорость идеального холостого хода в замкнутой и разомкнутой системах одинакова.
,
где Dwр = IсRэКд- падение скорости в разомкнутой системе.
При Кт=0, Dwзт=Dwpт
На рис приведены статические характеристики w=f(I) для положительной а) ,
и для отрицательной б) ОС при Uз= const
Кт=0соответствует характеристике разомкнутой системы
При положительной обратной связи по току возможны три режима работы ЭП :
- режим недокомпенсации,
когда
В этом случае с ростом нагрузки скорость w уменьшается.
режим полной компенсации:
и Dw3 = 0,
т.е. с изменением нагрузки w = const,
режим перекомпенсации:
с ростом нагрузки скорость возрастает. Указанные режимы могут иметь место при Кт = const и при изменении Кр
При отрицательной обратной связи по току всегда, падение скорости под нагрузкой больше, чем в разомкнутой системе. Поэтому отрицательная обратная связь по току в регуляторах скорости применяется только в сочетании с отрицательной обратной связью по скорости.
Передаточные функции по задающему воздействию разомкнутой W(p) и замкнутой Ф(p) систем:
-для разомкнутой системы;
- для замкнутой системы;
т.е. W03=WОР
Здесь «-» cоответствует положительной обратной связи по току;
«+» cоответствует отрицательной обратной связи по току;
При положительной обратной связи по току в режиме недокомпенсации система устойчива;
- в режиме перекомпенсации система не устойчива;
- в режиме компенсации система находится на границе устойчивости.
При отрицательной обратной связи система всегда устойчива.
Характер переходного процесса в системе зависит от коэффициента x3 и W03. Так как Wор = W03, скорость затухания переходного процесса в замкнутой и разомкнутой системах одинакова. Если принять xр = 1, тогда в режиме:
- недокомпенсации x3<1; переходной процесс затухающий;
- компенсации x3=0;- гармонические незатухающие колебания;
- перекомпенсации x3<0; переходной процесс расходящийся.
В системе с отрицательной обратной связью по току x3>1; переходной процесс апериодический.
Хотя в режиме недокомпенсации система устойчивости, регулятор скорости в таком режиме самостоятельно практического применения не получил; он широко используется совместно с отрицательной обратной связи по скорости в системах с повышенными требованиями к жесткости статической характеристики.
Регулятор скорости с отрицательной обратной свзью по напряжению
Для установившегося режима составим структурную схему (Рис. 10-14.).
В данном случае имеем систему стабилизации напряжения, подводимого к якорю ДПТ. Полагая выходным сигналом напряжение Uд, находим:
,
где Uдо - напряжение на входе ДПТ при Iс = 0
- падение напряжения в ТП в замкнутой системе при Iс > 0.
DUдр- падение напряжения в ТП в разомкнутой системе;
Rп- внутреннее сопротивление ТП;
Кн- коэффициент обратной связи по напряжению.
Uз выражения для DUдз и DUдр видно, что падение напряжения в замкнутой системе при одинаковых Iс в (1+КрКпКн) раз меньше, чем в разомкнутой; замкнутая система обеспечивает стабилизацию напряжения Uд, компенсируя падение напряжения в силовой цепи преобразователя. Величина DUдз является статической ошибкой по возмущению. При К = ¥ имеем идеальный источник питания неограниченной мощности и статическая характеристика регулятора будет представлять естественную характеристику ДПТ НВ (К = КрКпКн).
В общем случае статическая характеристика регулятора скорости:
Следовательно: обратная связь по напряжению не может быть использована для стабилизации w ЭП. Обычно она используется в регуляторах w в сочетании с другими видами обратных связей.
Динамические характеристики замкнутой системы авт. регулирования с отрицательной обратной связью по напряжению такие же как и в разомкнутой системе, т.е.