Контрольная работа: Особенности решения задач в эконометрике
Определим парные коэффициенты корреляции:
таблица 7
|
№ |
y |
y2 |
x1 |
x12 |
x2 |
x22 |
x3 |
x32 |
yx1 |
yx2 |
yx3 |
x1x2 |
x1x3 |
x2x3 |
|
|
Аi |
| 1 | 3,2 | 10,24 | 30 | 900 | 6 | 36 | 12 | 144 | 96,0 | 19,2 | 38,4 | 180 | 360 | 72 | 2,87 | 0,33 | 10,18 |
| 2 | 4,5 | 20,25 | 41 | 1681 | 18 | 324 | 20 | 400 | 184,5 | 81,0 | 90,0 | 738 | 820 | 360 | 4,00 | 0,50 | 11,03 |
| 3 | 3,3 | 10,89 | 37 | 1369 | 11 | 121 | 12 | 144 | 122,1 | 36,3 | 39,6 | 407 | 444 | 132 | 3,32 | -0,02 | 0,73 |
| 4 | 3,0 | 9,00 | 33 | 1089 | 9 | 81 | 18 | 324 | 99,0 | 27,0 | 54,0 | 297 | 594 | 162 | 3,38 | -0,38 | 12,79 |
| 5 | 2,8 | 7,84 | 24 | 576 | 4 | 16 | 15 | 225 | 67,2 | 11,2 | 42,0 | 96 | 360 | 60 | 2,65 | 0,15 | 5,47 |
| 6 | 3,9 | 15,21 | 44 | 1936 | 19 | 361 | 17 | 289 | 171,6 | 74,1 | 66,3 | 836 | 748 | 323 | 4,04 | -0,14 | 3,54 |
| 7 | 3,7 | 13,69 | 37 | 1369 | 18 | 324 | 17 | 289 | 136,9 | 66,6 | 62,9 | 666 | 629 | 306 | 3,59 | 0,11 | 3,03 |
| 8 | 4,2 | 17,64 | 39 | 1521 | 22 | 484 | 26 | 676 | 163,8 | 92,4 | 109,2 | 858 | 1014 | 572 | 4,19 | 0,01 | 0,20 |
| 9 | 4,7 | 22,09 | 49 | 2401 | 30 | 900 | 26 | 676 | 230,3 | 141,0 | 122,2 | 1470 | 1274 | 780 | 4,83 | -0,13 | 2,86 |
| 10 | 4,4 | 19,36 | 48 | 2304 | 24 | 576 | 22 | 484 | 211,2 | 105,6 | 96,8 | 1152 | 1056 | 528 | 4,56 | -0,16 | 3,61 |
| 11 | 2,9 | 8,41 | 29 | 841 | 8 | 64 | 18 | 324 | 84,1 | 23,2 | 52,2 | 232 | 522 | 144 | 3,13 | -0,23 | 7,82 |
| 12 | 3,7 | 13,69 | 31 | 961 | 6 | 36 | 20 | 400 | 114,7 | 22,2 | 74,0 | 186 | 620 | 120 | 3,36 | 0,34 | 9,17 |
| 13 | 2,4 | 5,76 | 26 | 676 | 5 | 25 | 10 | 100 | 62,4 | 12,0 | 24,0 | 130 | 260 | 50 | 2,51 | -0,11 | 4,65 |
| 14 | 4,5 | 20,25 | 47 | 2209 | 19 | 361 | 20 | 400 | 211,5 | 85,5 | 90,0 | 893 | 940 | 380 | 4,39 | 0,11 | 2,46 |
| 15 | 2,6 | 6,76 | 29 | 841 | 4 | 16 | 15 | 225 | 75,4 | 10,4 | 39,0 | 116 | 435 | 60 | 2,97 | -0,37 | 14,17 |
| σ | 53,8 | 201,08 | 544 | 20674 | 203 | 3725 | 268 | 5100 | 2030,7 | 807,7 | 1000,6 | 8257 | 10076 | 4049 | 53,80 | 0,00 | 91,69 |
| ср. | 3,59 | 13,41 | 36,27 | 1378,27 | 13,53 | 248,33 | 17,87 | 340,00 | 135,38 | 53,85 | 66,71 | 550,47 | 671,73 | 269,93 | 3,59 | 0,00 | 6,11 |
Матрица парных коэффициентов корреляции:
|
y |
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
y |
1,000 | |||
|
x1 |
0,908 | 1,000 | ||
|
x2 |
0,894 |
0,931 |
1,000 | |
|
x3 |
0,783 | 0,657 | 0,765 | 1,000 |
Анализируем матрицу парных коэффициентов корреляции.
ú rx1x2=0.931, т. е. между факторами x1 и x2 существует сильная корреляционная связь, один из этих факторов необходимо исключить.
ú rx1x3=0.657 меньше, чем rx2x3=0.765, т.е. корреляция фактора х2 с фактором х3 сильнее, чем корреляция факторов х1 и х3.
ú Из модели следует исключить фактор х2, т.к. он имеет наибольшую тесноту связи с х3 и, к тому же, менее тесно (по сравнению с x1) связан с результатом у (0.894<0.908).
2.1. Уравнение регрессии в естественной форме будет иметь вид:
yx = a + blx]+b3x3,
фактор х2 исключен из модели.
Стандартизованное уравнение:
ty = β1tx1+β3tx3
где:
ty , tx1, tx3 – стандартизованные переменные.
Параметры уравнения β1 и β3 определим методом наименьших квадратов из системы уравнений:
Или:
Систему решаем методом Крамера:
|
∆= |
1 | 0,657 |
= 1-0,6572= 0,568 |
| 0,657 | 1 |
|
∆β1= |
0,908 | 0,657 | = 0,908-0,657–0,783=0,394 |
| 0,783 | 1 |
|
∆β3= |
1 | 0,571 | =0,833-0,571–0,413= 0,186 |
| 0,413 | 0,833 |
Тогда:
Получили уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:
ty = 0,693tx1+0,327tx3
Коэффициенты β1 и β3 сравнимы между собой в отличии от коэффициентов чистой регрессии b1 и b3.
β1=0,693 больше β3=0,327, следовательно, фактор x1 сильнее влияет на результат y чем фактор x3.
Определим индекс множественной корреляции:
Cвязь между y и факторами x1, x3 характеризуется как тесная, т. к. значение индекса множественной корреляции близко к 1.
Коэффициент множественной детерминации:
R 2yx1x3=(0.941)2=0.886
Т. е. данная модель объясняет 88,6% вариации y, на долю неучтенных в модели факторов приходится 100-88,6=11,4%
Оценим значимость полученного уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:
Fтабл(α=0,05; k1=2; k2=15-2-1=12)=3,88
Табличное значение критерия Фишера (определяем по таблице значений критерия Фишера при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k1 и k2) меньше фактического значения критерия. следовательно, гипотезу H0 о том, что полученное уравнение статистически незначимо и ненадежно, отвергаем и принимаем альтернативную гипотезу H1: полученное уравнение статистически значимо, надежно и пригодно для анализа и прогноза.
Оценим статистическую значимость включения в модель факторов x1 и x2.
Fтабл (α=0,05; k1=1; k2=15-2-1=12)=4,75
Fx1 >Fтабл.
Fx3 >Fтабл.
Значит, включение в модель факторов x1 и x3 статистически значимо.
Перейдем к уравнению регрессии в естественном масштабе:
Уравнение множественной регрессии в естественном масштабе:
Экономическая интерпретация параметров уравнения:
b1=0.064, это значит, что с увеличением x1 – возраста рабочего на 1 год заработная плата рабочего увеличивается в среднем на 64 рубля, если при этом фактор x2 - выработка рабочего не меняется и фиксирован на среднем уровне.
b3=0,053, это значит, что с увеличением x3 – выработки рабочего на 1 шт. в смену, заработная плата рабочего увеличивается в среднем на 53 рубля, если при этом фактор x1 - возраст рабочего не меняется и фиксирован на среднем уровне.
a=0,313 не имеет экономической интерпретации, формально это значение результата y при нулевом значении факторов, но факторы могут и не иметь нулевого значения.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации, таблица 7.
Ошибка аппроксимации Аi, i=1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
Используем полученную модель для прогноза.
Если х1 =35, х2 =10, х3 =20, то
ур = 0,313 + 0,064•35 + 0,053•20 = 3,618 тыс. руб.
т. е. для рабочего данного цеха, возраст которого 35 лет, а выработка 20 шт. в смену, прогнозное значение заработной платы - 3618 руб.
