Курсовая работа: Имитационное моделирование системы массового обслуживания
1.5 Основные понятия имитационного моделирования
Основная цель имитационного моделирования заключается в воспроизведении поведения изучаемой системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей ее элементов.
Компьютерное имитационное моделирование следует рассматривать как статический эксперимент.
Из теории
функций случайных величин известно, что для моделирования случайной величины 
с любой непрерывной и
монотонно возрастающей функцией распределения 
достаточно
уметь моделировать случайную величину 
,
равномерно распределенную на отрезке 
.
Получив реализацию 
случайной величины
, можно найти
соответствующую ей реализацию 
случайной
величины 
, так как они связаны
равенством
(1.5.1)
Предположим,
что в некоторой системе массового обслуживания время обслуживания одной заявки
распределено по экспоненциальному закону с параметром 
, где 
– интенсивность потока
обслуживания. Тогда функция распределения 
времени
обслуживания имеет вид
Пусть 
- реализация случайной
величины 
, равномерно распределенной
на отрезке 
, а 
– соответствующая ей
реализация случайного времени обслуживания одной заявки. Тогда, согласно (1.5.1)
1.6 Построение имитационных моделей
Первый этап создания любой имитационной модели – этап описания реально существующей системы в терминах характеристик основных событий. Эти события, как правило, связаны с переходами изучаемой системы из одного возможного состояния в другое и обозначаются как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий.
Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы.
Характеристики самого процесса массового обслуживания могут изменять свои значения либо в момент поступления новой заявки на обслуживание, либо при завершении обслуживания очередной заявки. К обслуживанию очередной заявки СМО может приступить немедленно (канал обслуживания свободен), но не исключена необходимость ожидания, когда заявке придется занять место в очереди (СМО с очередью, канал обслуживания занят). После завершения обслуживания очередной заявки СМО может сразу приступить к обслуживанию следующей заявки, если она есть, но может и простаивать, если таковая отсутствует. Необходимую информацию можно получить, наблюдая различные ситуации, возникающие при реализациях основных событий. Так, при поступлении заявки в СМО с очередью при занятом канале обслуживания длина очереди увеличивается на 1. Аналогично длина очереди уменьшается на 1, если завершено обслуживание очередной заявки и множество заявок в очереди не пусто.
Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть микросекунда, час, год и т.д.
Так как по своей сути компьютерное имитационное моделирование представляет собой вычислительный эксперимент, то его наблюдаемые результаты в совокупности должны обладать свойствами реализации случайной выборки. Лишь в этом случае будет обеспечена корректная статистическая интерпретация моделируемой системы.
При компьютерном имитационном моделировании основной интерес представляют наблюдения, полученные после достижения изучаемой системой стационарного режима функционирования, так как в этом случае резко уменьшается выборочная дисперсия.
Время, необходимое для достижения системой стационарного режима функционирования, определяется значениями ее параметров и начальным состоянием.
Поскольку основной целью является получение данных наблюдений с возможно меньшей ошибкой, то для достижения этой цели можно:
1) увеличить
длительность времени имитационного моделирования процесса функционирования
изучаемой системы. В этом случае не только увеличивается вероятность достижения
системой стационарного режима функционирования, но и возрастает число 
используемых
псевдослучайных чисел, что также положительно влияет на качество получаемых
результатов.
2) при
фиксированной длительности времени Т имитационного моделирования
провести N вычислительных экспериментов, называемых еще прогонами модели, с
различными наборами псевдослучайных чисел, каждый из которых дает одно
наблюдение. Все прогоны начинаются при одном и том же начальном состоянии
моделируемой системы, но с использованием различных наборов псевдослучайных
чисел. Преимуществом этого метода является независимость получаемых наблюдений 
, показателей эффективности
системы. Если число N модели достаточно велико, то границы
симметричного доверительного интервала для параметра 
определяются следующим образом:
, 
, т.е. 
, где
математическое ожидание
(среднее значение), находится по формуле
,
исправленная дисперсия, 
,
N – число прогонов
программы, 
– надежность, 
.
2. Аналитическое моделирование СМО
2.1 Граф состояний системы и уравнения Колмогорова
Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с ограниченной очередью равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания.
Данная система имеет 7 состояний, обозначим их:
S0 – система свободная, нет заявок;
S1 – 1 заявка на обслуживании, очередь пуста;
S2 – 2 заявки на обслуживании, очередь пуста;
S3 – 2 заявки на обслуживании, 1 заявка в очереди;
S4 – 2 заявки на обслуживании, 2 заявки в очереди;
S5 – 2 заявки на обслуживании, 3 заявки в очереди;
S6 – 2 заявки на обслуживании, 4 заявки в очереди;
Вероятности прихода системы в состояния S0, S1, S2, …, S6 соответственно равны Р0, Р1, Р2, …, Р6.
Граф состояний системы массового обслуживания представляет собой схему гибели и размножения. Все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим.
Рис. 3. Граф состояний двухканальной СМО
Для построенного графа запишем уравнения Колмогорова:
Чтобы решить данную систему зададим начальные условия:
Систему уравнений Колмогорова (систему дифференциальных уравнений) решим численным методом Эйлера с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1).
Метод Эйлера
где
- в нашем случае, это
правые части уравнений Колмогорова, n=6.
(1)
Выберем шаг
по времени 
. Предположим 
, где Т – это время,
за которое система выходит на стационарный режим. Отсюда получаем число шагов 
. Последовательно N раз вычисляя 
по формуле (1) получим
зависимости вероятностей состояний системы от времени, приведенной на рис. 4.
Значения
вероятностей СМО при 
равны:
Рис. 4. Зависимости вероятностей состояний системы от времени
|
|
|
|
|
|
При
достаточно большом времени протекания процессов в системе (
) могут устанавливаться
вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными
вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число
состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов можно
перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е. 
Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны 0, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания правых частей 0. Запишем уравнения для финальных вероятностей для нашей СМО.
Решим данную систему линейных уравнений с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1).
Получим финальные вероятности системы:
Сравнение
вероятностей, полученных из системы уравнений Колмогорова при 
, с финальными
вероятностями показывает, что ошибки 
равны:
Т.е. достаточно малы. Это подтверждает правильность полученных результатов.
2.3 Расчет показатели эффективности системы по финальным вероятностям
Найдем показатели эффективности системы массового обслуживания.
Сначала вычислим приведенную интенсивность потока заявок:
1) Вероятность отказа в обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной. В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди), это соответствует состоянию системы S6. Т.к. вероятность прихода системы в состояние S6 равна Р6, то
2) Относительная пропускная способность – это средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой.
3) Абсолютная пропускная способность – это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.
4) Средняя длина очереди, т.е.
среднее число заявок в очереди, равна сумме произведений числа заявок в очереди
на вероятность соответствующего состояния. 
5) Среднее время пребывания заявки в очереди определяется формулой Литтла:
6) Среднее число занятых каналов определяется следующим образом:
3. Имитационное моделирование СМО
3.1 Алгоритм метода имитационного моделирования СМО (пошаговый подход)
Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с максимальной длиной очереди равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания.
