Реферат: Матричный анализ

ЧТД.

Пример 3.

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).

Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А Þ f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены.

.

.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

Если f(x)=ln x

f(1)=0         f’(1)=1

f(2)=ln 2     f’(2)=0.5     f’’(2)=-0.25

4. Простые матрицы.

 

Пусть матрица , так как С алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен , где , ki – алгебраическая кратность корня .

Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению  - подпространство, , где r – ранг матрицы .

Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение , а матрица  имеет , то  имеет кратность .

DF. Размерность  называется геометрической кратностью собственного значения .

В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом:

Теорема. Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности.

DF. Матрица  называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью.

Из линейной алгебры следует, что матрица  простая тогда и только тогда, когда .

Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x1, x2, …,xn таких, что , для . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е. А – простая тогда и только тогда, когда  и .

Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ это значения . Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда . Поэтому, если  - собственное значение матрицы А, то и  является собственным значением матрицы А’, т.е. существует , что  (*) или . Транспонируем (*) и получим  (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно,  - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x1, x2, …, xn и существует n линейно независимых собственных векторов y1, y2,…,yn, где x1, x2, …, xn такие, что ,  (1); y1, y2,…,yn такие, что  (2), .

Запишем равенство (1) в  виде  (3) Þ что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что  или  (**).

DF. Множества векторов x1, x2, …, xn и y1, y2,…,yn удовлетворяющие условию  , т.е.  называются квазиортогональными.

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .

Очень важной для матриц является следующая теорема:

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x], и x1, x2, …, xn и y1, y2,…,yn – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то , а сопутствующая матрица , где .

Следствие. Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства:

1.  

2.  

3.  

Пример. Показать, что матрица  простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А20, p(x)=x20.

Решение:

Þ

существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.

Найдем правые собственные векторы:

Найдем левые собственные векторы:

Найдем сопутствующие матрицы:

.

5.Спектральное разложение функции f(A).

Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.

Пусть дана матрица  и пусть , .

Теорема. Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и  - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , при чем  коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве

Доказательство: заметим, что  и , где  - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А,  (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы  называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами.

ЧТД.

Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.

Теорема. Компонентные матрицы  обладают следующими свойствами:

1.  

2.  

3.  

4.   .

Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.

Пример: Найти компоненты для матрицы .

.

Пусть f(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме .

1.   f(x)=1

E=1Z11+0Z12+1Z21=Z11+Z21

2.   f(x)=x-4

A-4E=0Z11+1Z12+(-2)Z21=Z12-2Z21

3.   f(x)=(x-4)2

(A-4E)2=4Z21

.

Таким образом, для любой функции f(x), определенное на спектре матрицы А

.

Пример 2.

Найти компоненты для матрицы

.

Найдем минимальный многочлен матрицы А.

1.   f(x)=1

E=Z11+Z21+Z31

2.   f(x)=x+1

(A+E)=2Z21+Z31+Z12

3.   f(x)=(x+1)2

(A+E)2=4Z21+Z31

4.   f(x)=x-1

A-E=-2Z11+Z12-Z31

1. f(x)=1               E=Z11+Z21+Z31

2. f(x)=x+1           A+E=Z11Z22+2Z31

3. f(x)=(x+1)2       (A+E)2=Z11+4Z31

4. f(x)=x-1            (A-E)=-Z11-2Z21+Z22

Z31=A

-Z22=(A+E)2-E-3A

Z12=Z22

Z11=(E-A)-Z22

6.Определенные матрицы.

Эрмитовы и квадратичные матрицы.

Пусть А – эрмитова матрица (А*=А).

Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента.

Рассмотрим:

DF. Функция , где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x1, …, xn, где А – матрица эрмитовой формы.

Очевидно, что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму .

Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц.

DF. Действительная симметрическая матрица А называется положительно определенной, если  для .

DF. Действительная симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной, если  для .

Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что она вырожденная, то , , что противоречит условию.

Теорема № 1. Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга  тогда и только тогда , когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) – собственные значения равны 0.

Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Теорема № 3. Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

7.Неотрицательные матрицы.

DF. Матрица  называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен.

Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц.

Пусть матрицы . Будем говорить, что , если б в частности A>B, если .

Вспомним матрицу перестановки , т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение  приводит  к перестановке столбцов матрицы А.

DF. При  матрица  называется приводимой матрицей, если существует такая матрица перестановки Р, что  совподает с матрицей , где А11, А12, А22 – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой.

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений  , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем

, где , .

 и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем,  и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А11 и А22 в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.

Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.

В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.

DF. Пусть р1, р2, …, рn – n различных точек комплексной плоскости и . Для каждого нулевого элемента матрицы А  составим направленную линию от рi к рj .  Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы.

Например:

DF. Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек  существует направленный путь .

Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.

8.Теорема Фробениуса-Перона.

Очевидно, что если , то для  . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p .

Лемма № 1. Если матрица  неотрицательна и неприводима, то .

Доказательство:

Если взять произвольный вектор  и , то . И пусть вектор  имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим , тогда  и разбив матрицу А на блоки следующим образом

 мы будем иметь .

Учитывая, что , то , тогда получаем, что , что противоречит неприводимости матрицы.

Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y .

ЧТД.

Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов  следующим образом: , (Ax)i – i-я координата вектора Ах.

. Из определения следует, что  и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение , что .

Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое .

Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов  и обозначим . По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому т.е. для .

Обозначим через  наибольшее число, для которого , .  – спектральный радиус матрицы А. Если  Можно показать, что существует вектор y, что .

Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz).

Интерес к числу r объясняется следующим результатом.

Лемма № 2. Если матрица  неотрицательна и неприводима, то число  является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.

Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.

Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица  неотрицательна и неприводима, то:

1.    А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;

2.    существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.

3.    собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.

Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.

Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.