Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
Форма
в широком смысле 
(4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением
, последнее, в свою очередь
определяется изображением
,
если векторы 
попарно
различны. Если при этом 
, то
форма в широком смысле 
может быть
определена и как оператор П ортогонального проецирования на 
, определенный равенством
(13).
Посмотрим, каким образом
воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как
оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство 
(10*) для произвольного
изображения 
. Пусть 
- множество значений 
и 
- измеримое разбиение X , порожденное 
, в котором 
- подмножество X , в пределах
которого изображение 
имеет постоянные
яркость и цвет, определяемые вектором 
,
если 
.
Однако для найденного разбиения
условие 
, вообще говоря, невыполнимо
и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П
на 
. Покажем, что П
можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных
проекторов. Заметим вначале, что любое изображение 
можно
представить в виде предела (в 
) должным
образом организованной последовательности мозаичных изображений
(*)
где 
-
индикатор множества 
,
принадлежащего измеримому разбиению 
В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
- 
- C - измеримо, 
;
- N+1-oe разбиение является продолжением N-го,
т.е. для любого 
, найдется i=i(j),
, такое, что 
;
- минимальная s-алгебра, содержащая все 
, совпадает с C.
Лемма (*). Пусть 
- исчерпывающая
последователь-ность разбиений X и 
- то
множество из 
, которое содержит 
. Тогда для любой C-измеримой
функции 
и m-почти для всех 
[
]. n
Воспользуемся этим результатом для
построения формы в широком смысле П произвольного изображения 
. Пусть 
- минимальная s-алгебра,
относительно которой измеримо 
, т.е.
пусть 
, где 
- прообраз борелевского
множества 
, B - s-алгебра
борелевских множеств 
. Заменим в
условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на 
и выберем эту, зависящую от
, исчерпывающую
последовательность (
- измеримых) разбиений
в лемме (*).
Теорема (*). Пусть 
, 
- исчерпывающая
последовательность разбиений X, причем 
- минимальная
s-алгебра, содержащая все 
и
П(N) - ортогональный проектор 
,
определенный равенством 
, 
Тогда
1) для любого 
-измеримого
изображения 
и почти для всех 
, 
,
2) для любого изображения 
при 
(в 
), где П - ортогональный
проектор на 
.
Доказательство. Первое утверждение
непосредственно следует из леммы (*) и определения 
.
Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1)
- продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то
последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно
неубывает: 
и потому сходится
(поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как 
- множество всех 
-измеримых изображений и их
пределов (в 
), а в силу
леммы (*) для любого 
-измеримого
изображения 
, то для
любого изображения 
и для любого 
,
ибо 
-измеримо, N=1,2,...
n
Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.
Заданы
векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение 
, на множествах которого
наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq.
Рассмотрим задачу приближения цветного
изображения f(×), в которой задано не разбиение 
поля зрения X, а
векторы 
в 
, и требуется построить
измеримое разбиение 
поля зрения,
такое, что цветное изображение 
-
наилучшая в 
аппроксимация f(×). Так как
, (14*)
то в Ai
следует отнести лишь те точки 
, для
которых 
, 
=1,2,...,q, или, что
то же самое, 
=1,2,...,q. Те точки,
которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам,
должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся
считать, что запись
, (14)
означает, что
множества (14) не пересекаются и 
.
Чтобы
сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим
разбиение 
, в котором
(15)
и звездочка указывает
на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F,
действующий из 
в 
по формуле 
, 
, i=1,...,q.
Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения 
и 
, i=1,...,q, можно было
считать эквивалентными. [8]
Теорема
2. Пусть 
- заданные векторы Rn. Решение задачи
наилучшего в 
приближения изображения f(×) изображениями 
имеет вид 
, где 
- индикаторная функция
множества 
. Множество 
определено равенством (15).
Нелинейный оператор 
, как всякий
оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е.
является пректором.
Замечание
2. Если данные задачи доступны лишь в
черно-белом варианте, то есть заданы числа 
,
i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию 
, то, как показано в [3],
искомое разбиение X состоит из множеств
где 
, и имеет мало общего с
разбиением (14).
Замечание
3. Выберем векторы fi,
i=1,..,q единичной длины: 
,
i=1,...,q. Тогда
. (16)
Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало
координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение 
изображения f(×)
инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не
изменяющего его цвет (например 
), в
частности, относительно образования теней на f(×).
Замечание 4. Для любого
заданного набора попарно различных векторов 
оператор
F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения,
принимающего значения 
соответственно на
измеримых множествах 
(любого) разбиения
X. Всякое такое изображение является
неподвижной (в 
) точкой F:
, если 
, все они изоморфны между
собой. Если некоторые множества из 
-
пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую
форму.
Иначе говоря, в данном случае формой
изображения 
является множество всех
изображений, принимающих заданные значения 
на
множествах положительной меры 
любого
разбиения X, и их пределов в 
.
Теоремы 1 и 2 позволяют
записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями
, в котором требуется
определить как векторы 
,
так и множества 
так,
чтобы
.
Следствие 1.
Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), 
, где 
. Тогда
необходимые и достаточные условия 
суть следующие: 
, где
, 
.
