Реферат: Экстремумы функций
Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.(Например, как для функции y=x3,так и для функции y=x4,вторая производная обращается в нуль в точке х=0, но первая из них не имеет экстремумов в точке х=0, а вторая имеет в ней минимум (рис.4)).
Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.
3.3.Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.
Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x0) R, определенная в окрестности U(x0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n включительно (n>1).
Если f’(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0 , то при n нечетном в х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n)(x0)>0 , и строгий локальный максимум, если f (n)(x0).
Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора
f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n (3.2)
где (x) 0 при x x0,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде
f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3.3)
Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак fn(x0),когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе через х0 скобка (х-х0)n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.
Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и,следовательно, а малой окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f(n)(x0) :
- пусть f(n)(x0),тогда в окрестности точки х0 f(x)>f(x0), т. е. в точке х0 – локальный минимум;
- пусть f(n)(x0)>0,тогда f(x)>f(x0) ,т. е. в точке х0 локальный минимум. ч.т.д.
4.Экстремумы функций трех переменных.
4.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0,y0,z0) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x0- ,x0+ , y0- ,y0+ ,z0- ,z0+ )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0,y0,z0) выполнялось строгое неравенство
f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)
(>)
то говорят, что в точке (x0,y0,z0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0,y0,z0) имеет экстремум,
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные
fx’(x0,y0,z0), fy’(x0,y0,z0) ,fz’(x0,y0,z0)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим y= y0,z= z0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :
v=f(x, y0,z0)
Так как мы предположили, что в точке (x0,y0,z0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0- ,x0+ ) точки x=x0, необходимо должно выполняться неравенство
f(x, y0,z0)<f(x0,y0,z0)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx’(x0,y0,z0)=0
Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.
Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx’(x,y,z)=0
fy’(x,y,z)=0 (4.2)
fz’(x,y,z)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
4.2.Достаточное условие экстремума.
Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.
Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x0,y0,z0), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям
fx’(x0,y0,z0)=0,fy’(x0,y0,z0)=0 ,fz’(x0,y0,z0)=0
Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x0,y0,z0) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности
= f(x,y,z)- f(x0,y0,z0)
Разложим ее по формуле Тейлора,
= { fx ’’ x12+fx ’’ x22+…+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x1 x2+ +2fx1x3 ’’ x1 x3+…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi xj
где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке
(x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn) (0<0<1)
Введём и здесь значения
fxixj ’’ (x10,x20,…,xn0)=aik (i,k=1,2,…,n) (4.2)
так что
fxixj ’’ (x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn)= aik+ ik
и
ik 0 при x1 0,…, xn 0 (4.3)
Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:
= { aik xi xk+ ik xi xk} (4.4)
На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1,…, xn. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.
В высшей алгебре квадратичную форму
aik yi yk (aik = aki) (4.5)
от переменных y1,…,yn называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:
a11 a12 a11 a12 a13
a11>0, a21 a22 , a21 a22 a23 >0,
a31 a32 a33
Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).
a11 a12 a11 a12 a13
a11>0, a21 a22 a21 a22 a23 >0
a31 a32 a33
Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0,y0,z0) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x0,y0,z0), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x0,y0,z0) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е.
f(x0,y0,z0) f(x0,y0,z0) f(x0,y0,z0)
--------------- =0, ---------------=0, ---------------=0
x y z
Тогда при x=x0,y=y0,z=z0 :
1) f(x,y,z) имеет максимум , если
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
---------------<0 , -------------------------------- - --------------- >0
x2 x2 y2 x y
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z x y y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- >0
x z y2
2) f(x,y,z) имеет минимум, если
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------->0 , -------------------------------- - --------------- >0
x2 x2 y2 x y
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z x y y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- >0
x z y2
3)если
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z x y y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- =0
x z y2
то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )
4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума.
5.Экстремумы функций многих переменных.
5.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция u=f(x1,x2,…,xn) определена в области D и (x10,x20,…,xn0) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция u=f(x1,x2,…,xn) в точке (x10,x20,…,xn0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x10 x10 x20 x20 xn0 xn0 )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x1,x2,…,xn)<f(x10,x20,…,xn0)
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x10,x20,…,xn0) выполнялось строгое неравенство
f(x1,x2,…,xn)<f(x10,x20,…,xn0)
(>)
то говорят, что в точке (x10,x20,…,xn0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x10,x20,…,xn0) имеет экстремум,
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные
fx1’(x10,x20,…,xn0) ,…, f ’xn(x10,x20,…,xn0)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим x2=x20,…,xn= xn0 сохраняя x1 переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x1 :
u=f(x1, x20,…,xn0)
Так как мы предположили, что в точке (x10,x20,…,xn0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x10- , x10+ ) точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство
f(x1, x20,…,xn0)< f(x10,x20,…,xn0)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx1’(x10,x20,…,xn0)=0
Таким образом можно показать, что в точке (x10,x20,…,xn0)
и остальные частные производные равны нулю.
Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx1’(x10,x20,…,xn0)=0
……………………. (5.1)
f ’xn(x10,x20,…,xn0)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :
d f(x1,x2,…,xn)=0
так как, если fx1’= fx2’=…= f ’xn , то каковы бы ни были dx1,dx2,…,dxn всегда
f(x1,x2 d,…,xn)= fx1’ dx1+ fx2’ dx2+…+ f ’xn dxn=0
И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx1,dx2,…,dxn производные fx1’, fx2’,…, f ’xn порознь равны нулю.
Обычно, рассматриваемая функция f(x1,x2,…,xn) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» по экстремуму, наряду со стационарными.
Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.
