Реферат: Линейное и динамическое программирование
а затем в качестве условной денежной единицы принять условные математические ожидания М(x/x№0) в 1-ой таблице и М(x/x№0) – во 2-ой.
Вычислим условные математические ожидания:
М(x/x№0)=ј*Р(x=ј/x№0)+1*Р(x=1/x№0) = =ј*/()+1*= =ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=
=ј*13/18+1*5/49 = 5/18 » 0,458=45800 руб. – денежная единица для клиентов 1-ой группы.
М(x/x№0=ј*/()+1*=
=ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=
=. ј*44/49+1*5/49 = 16/49 » 0,327=32700 руб – денежная единица для клиентов 2-ой группы.
С учетом всех замечаний вместо рядов распределения (3) имеем:
0 1 0 1
x: x: (4)
0,9982 0,0018 0,9962 0,0049
откуда получаем: Мx = 0,0018
Мx = 0,0049.
Подсчитаем сумму исков от застрахованных
1-ой группы:
l = Мx = N1* Мx = 400*0,0018 = 0,7
2-ой группы:
l = Мx = N2* Мx = 1000*0,0049 = 4,9
Общая сумма исков может рассматриваться, как случайная пуассоновская величина с параметром l+l = 5,6
Так как вероятность не разорения компании должна быть не меньше 0,95, необходимо чтобы для общей суммы исков от застрахованных
x = x + x
выполнялось соотношение: Р(x Ј x) і 0,95 , где х – капитал компании.
Очевидно, что х = х, здесь х» 10– квантиль уровня 0,95 для распределения Пуассона. За счет нетто-премий компания может получить только сумму:
5,6=0,7*45800 руб. + 4,9*32700 руб. = 32060 руб.+1060230 руб. = 192290руб.
Поэтому страховая надбавка компании должна составлять:
R=(10-5,6)/5,6 ×100% »78,6% = 0,786*192290 руб.»1511400руб., (5)
а капитал компании:
х = 192290 руб. + 151140 руб. » 343430 руб. (6)
Таким образом, индивидуальные страховые надбавки r и r, цены полисов Р и Р для каждого из клиентов 1-ой и 2-ой группы соответственно равны (они пропорциональны нетто-премиям):
r = 0,52*Р = 0,52*83 руб. » 43 руб.,
r = 0,52*Р = 0,52*160 руб. » 83 руб.,
(7)
Р = Р + r » 43 руб. + 83 руб. = 126 руб.,
Р = Р + r »160 руб. + 83 руб. = 243 руб.
II. Теперь решим задачу с помощью гауссовского приближения. Среднее значение общего суммарного иска от застрахованных
x = Мx + Мx
с учетом средних индивидуальных исков (2) равно:
Мx = N1*Mx+ N2* Мx=400*0,00083+1000*0,0016=
= 0,332 + 1,6 » 1,9 = 190000 руб. (8)
Дисперсию x в виду независимости x и x вычислим по формуле:
Dx = Dx + Dx » 400*0,00058 + 1000*0,00078=
=0,23 + 0,78 = 1,01. (9)
Здесь:
Dx = М(x) - Мx = 0,00058 – (0,00083) » 0,00058 ,
(10)
Dx = М(x) - Мx = 0,00078 – (0,0016) » 0,00078 ,
где с помощью рядов распределения (1) имеем:
М(x) = 1/16*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00058 ,
(11)
М(x) = 1/16*0,0044 +1*0,0005 » 0,00078.
На основании центральной предельной теоремы функция распределения нормированной случайной величины:
S= (x - Mx)/,
при N1 + N2 ® Ґ имеет предел
F(x) = (1/)*dz
Для гауссовского приближения случайной величины x верна следующая цепочка равенств:
Р(x < x) = Р((x - Мx)/ Ј (х - Мx)/) » F((x - Mx)/) ,
где х – капитал компании.
Для того чтобы вероятность неразорения компании не превосходила 0,95, т.е.
F((x - Mx)/) і 0,95 должно быть выполнено соотношение
(х - Mx)/ і х, (12)
здесь х» 1,645 – квантиль уровня 0,95 стандартного гауссовского распределения.
Нетрудно убедиться в том, что минимально необходимый капитал компании должен составлять:
х=Мx+х*»1,9+1,645*1,005=1,9+1,65=3,55=355000руб., (13)
а относительная страховая надбавка составляет:
х*/Мx*100%=1,65/1,9*100%»86,8% (14)
Индивидуальные страховые надбавки r и r, цены полисов Р и Р для клиентов 1-ой и 2-ой групп с учетом (2), очевидно будут равны (страховые надбавки пропорциональны нетто-премиям):
r = 0,68*83 руб. » 56 руб.;
r = 0,68*160 руб. » 109 руб.;
(15)
Р = Р + r »83 руб. + 56 руб. = 139 руб.;
Р = Р + r »160 руб. + 109 руб. = 269 руб.
III. Проанализируем результаты, полученные в п.п. I и II. Очевидно расхождение результатов, полученных при использовании пуассоновского и гауссовского приближений. Попытаемся разобраться, в чем причина этого различия.
Дело в том, что при использовании закона Пуассона замена рядов распределения (1) на ряды распределения (3) привела к тому, что не изменились лишь математические ожидания Мxи Мx. В то же время дисперсии Dx и Dx, свидетельствующие о степени рассеяния случайных исков x и x, найденных по рядам распределения (1) и (3), различны. Следовательно, различны и дисперсии Dx, найденные по рядам распределения (1) и (3). Действительно, дисперсия общего суммарного иска x по рядам (1) подсчитана: Dx = 1,24 (см. соотношение (9) ).
Вычислим дисперсию x по рядам распределения (3), т.е.
0 0,458 0 0,327
x: x: (16)
0,9982 0,0018 0,9962 0,0049
Проведя расчеты, аналогичные (9-11), получим:
Dx =Dx + Dx » 400*0,00038 + 1000*0,00052 = 0,67. (17)
Здесь:
Dx = М(x) - Мx = 0,00038 – (0,00083) » 0,00038 ,
(18)
Dx = М(x) - Мx = 0,00052 – (0,0016) » 0,00052 ,
причем:
М(x) = 0,458*0,0018 » 0,00038 ,
(19)
М(x) = 0,327*0,0049 » 0,00052.
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: дисперсию x, найденную с использованием рядов (1), обозначим s, а дисперсию x, найденную по рядам (3) или (16), обозначим s. Таким образом, s = 1,01, а s = 0,67.
Из формулы (12), использующей стандартное гауссовское распределение, непосредственно следует, что относительная страховая надбавка, если Dx = s = 0,67 , равна
х*s/Мx*100% = 1,645*/1,9*100% » 70,9% (20)
Этот результат хорошо согласуется с относительной страховой надбавкой, учитывающей распределение суммарного иска x по закону Пуассона, равной 86,8% (см. (5)).
Учитывая вышеизложенное, напрашивается естественный вывод: если относительная страховая надбавка, капиталл компании, обеспечивающий неразорение компании с вероятностью 0,95, и цена полиса вычисляются, исходя из распределения суммарного иска застрахованных по закону Пуассона, то для нахождения основных характеристик компании необходимо ввести поправочный коэффициент, равный k = s1 /s2.
Проиллюстрируем применение коэффициента k для коррекции результатов, полученных в п.I:
страховая надбавка с учетом (5) станет равной:
R= k*R = *86,8%=1,2*86,8% » 71,4% » 135660 руб. (21)
капитал компании (см.(6)) станет равным:
х= 190000 руб. + 135660 руб. » 325660 руб., (22)
а индивидуальные страховые надбавки и цены полисов (см.(7)):
r = k*r » 1,2*43 руб. » 54 руб.,
r = k*r » 1,2*83 руб. » 100 руб.,
(23)
Р = Р + r » 83 руб. + 54 руб. = 137 руб.,
Р = Р + r » 160 руб. + 100 руб. = 260 руб.
В заключение необходимо отметить, что характеристики работы компании, полученные с учетом коррекции результатов исследования, в котором суммарный иск застрахованных подчинен распределению Пуассона хорошо согласуется с характеристиками работы страховой компании.