Реферат: Некоторые Теоремы Штурма
; (2.13)
(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает
. (2.14)
Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая
, ,
мы получаем из (2.14) частное решение
.(2.15)
Оно может быть записано в виде
, (2.16)
где
(2.17)
матрица С (t) зависит от , но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе
. (2.28)
(xii) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, входящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z, так что
. (2.29)
Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению
.
Умножая его на , мы получаем, что
(2.30)
или, в силу (2.27), что
, (2.31)
т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения дифференциального уравнения (2.27), а с функции , имеющей непрерывную производную и такой, что непрерывно дифференцируема. При этом определяется равенством (2.27), так что . Подстановка (2.29) будет называться также вариацией постоянных.
(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2.1) с р (t) = 1:
и" + q (t) и = 0. (2.32)
Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что
±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)
не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных
. (2.34)
Тогда (2.32) сводится к (2.30), где , т. е. к уравнению
(2.35)
Замена независимых переменных , определенная соотношением
, (2.36)
переводит (2.35) в уравнение
(2.37)
где
(2.38)
а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифференцирование по t, так что q' = dqldt.
Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s) «близка» к постоянной. Простой предельный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(с).
(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть
, (2.39)
так что . Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде
. (2.40)
Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)
Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) - решение уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале , то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обратно, если - решение уравнения (2.40) на t-интервале , то, интегрируя (2.39), мы получаем решение
(2.41)
уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'.
(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование . Пусть -вещественное решение уравнения 2.1, и пусть
.
Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непрерывно дифференцируемую функцию . Соотношения (2.42) переводят уравнение (2.1) в систему
, (2.43)
(2.44)
В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2.43) известно, то соответствующее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.
Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений (2.1) и (2.43).
Упражнение 2.1. Проверьте, что если функция непрерывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если - вещественное решение уравнения (2.1), то равенства
(2.45)
при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и
Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непрерывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют решения уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р(t) имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая , мы получаем q/, а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства
(2.48)
(2.49)
. (2.50)
§ 3. Теоремы Штурма
В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под «решением» мы будем понимать «вещественное, нетривиальное (т. е. ) решение». Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку тогда и только тогда, когда .
Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравнения (2.1) при , где и вещественны и непрерывны. Пусть функция и (t) имеет в точности нулей при . Предположим, что - непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и . Тогда и при .
Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где , производная в силу (2.43). Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого j. Отсюда следует, что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма доказана.
В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения
где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и
. (3.2)
В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения
(3.32)
или
и (3.31)
выполняются в некоторой точке , то уравнение (3.32) называется строгой мажорантой Штурма для (3.31) на J.
Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.32) является мажорантой Штурма для (3.11). Предположим, что функция является решением уравнения (3.11) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравнению (3.12) и
(3.4)
при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ); в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3.11) при .
Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений
(3.5)
Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):
(3.6j)
Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что
для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.
Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.62), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.62) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при .
Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.31), либо (3.32). Запишем (3.62) в виде
,
где
Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и .
Следовательно, если при некотором t, то , т. е. . Если (3.31) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.32), и потому (3.32) справедливо на некотором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.
Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3.12) является мажорантой Штурма для (3.11) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3j). Пусть обращается в нуль в двух точках интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.11) (3.12). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.
Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.11) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми).
Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p1(t)ºp2(t)>0, q2(t)³q1(t).)
Предположим, что u1(t)>0 при t1<t2<t3 и утверждение неверно: например, u2(t)>0 при t1£ t£t2. Умножая (p1(t)u¢)¢+q1(t)u=0, где u=u1, на u2, а (p2(t)u¢)¢+q2(t)u=0, где u=u2, на u1, вычитая и интегрируя по [t1,t2], получаем:
p(t)(u1¢u2-u1u2¢)³0, при t1£t£t2, где p=p1=p2. Это означает, что (u1/u2)¢³0; поэтому u1/u2>0 при t1<t£t2, т.е. получается, что u1(t2)>0 чего быть не может.
Решение:
(p1(t)u¢)¢+q1(t)u=0, u=u1
(p1(t)u1¢)¢+q1(t)u1=0.
Умножим левую часть равенства на u2, получим:
u2(p1(t)u1¢)¢+q1(t)u1u2=0.
Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:
(p2(t)u¢)¢+q2(t)u=0, u2=u
(p2(t)u2¢)¢+q2(t)u2=0.
Умножим левую часть равенства на u1, получим:
u1(p2(t)u2¢)¢+q2(t)u1u2=0.
Вычитаем из первого уравнения второе, получим:
u2(p1u1¢)¢+q1u1u2-u1(p2u2¢)¢-q2u1u2=0, p=p1=p2
u2(pu1¢)¢+q1u1u2-u1(pu2¢)¢-q2u1u2=0
(u2(pu1¢)¢-u1(pu2¢)¢)+u1u2(q1-q2)=0
Упростим это уравнение,
u2(p¢u1¢+pu1¢¢)-u1(p¢u2¢+pu2¢¢)+u1u2(q1-q2)=0
Раскроем скобки, получим:
p¢u1¢u2+ pu1¢¢u2- p¢u1u2¢-pu1u2¢¢+u1u2(q1-q2)=0.
Сравнивая с формулой (2.2), получаем:
(p(u1¢u2-u1u2¢))¢+u1u2(q1-q2)=0
(p(u1¢u2-u1u2¢))¢-u1u2(q2-q1)=0
(p(u1¢u2-u1u2¢))¢=u1u2(q2-q1)=0.
Проинтегрируем это уравнение по [t1,t], получим:
[p(u1¢u2-u2¢u1)]¢dt = u1u2(q2-q1)dt, где
u1u2>0, q2-q1³0. Значит p(u1¢u2-u1u2¢)³0.
Т.о. (u1/u2)¢³0 Þ u1/u2>0.
Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) ¹0 уравнения u¢¢+m/t2u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если m£, и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m>. В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=¥.
Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1.1 с), где показали, что функция u=tl является решением уравнения u¢¢+m/t2u=0 тогда и только тогда, когда l удовлетворяет уравнению l(l-1)+ m=0. Решая его получили : l=±m.
Если m>1/4, то корни l1 и l2 – комплексные, т.е.
u=t1/2[cos (m-1/4 ln t)c1+c2sin(m-1/4 ln t)]
имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:
c1=sinu ,c2=cosu,
то получим:
u= t1/2[sin u cos (m-1/4 ln t)+cos u sin (m-1/4 ln t)]=
t1/2 [sin (u+m-1/4 ln t)].
Если m<1/4, то решение
u=с1t1/2+ +c2t1/2-
имеют не более одного нуля.
Так же, если m=1/4, то решение
u=c1t1/2+c2t1/2ln t
имеют не более одного нуля.
d) Рассмотрим уравнение Бесселя:
v¢¢+v¢/t+(1-m2/t2)v=0, (3.10)
где m-вещественный параметр. Вариация постоянных u=t1/2/v переводит уравнение (3.10) в уравнение:
u¢¢+(1-a/t2)u=0, где a=m2-1/4 (3.11)
Проверим истинность этого утверждения u=t1/2v, следовательно:
v=u/t1/2=ut-1/2.
Найдём первую производную:
v¢=(ut-1/2) ¢=u¢t-1/2+u(t-1/2)¢=u¢t-1/2-1/2ut-3/2.
Теперь вторую производную:
v¢¢=(u¢t1/2) ¢-1/2(ut-3/2) ¢=u¢¢t-1/2 +u¢(t-1/2) ¢-1/2(u¢t-3/2+u(t-3/2) ¢)=
=u¢¢t-1/2 –1/2u¢t-3/2-1/2u¢t-3/2+3/4uut-5/2=
=u¢¢t-1/2-u¢t-3/2+3/4ut-5/2.
Подставляя в уравнение (3.10), получим:
v¢¢+v¢/t+(1-m2/t2)v=0.
u¢¢t-1/2-u¢t-3/2+3/4ut-5/2+1/t(u¢t-1/2-1/2ut-3/2)+(1-m2/t2)ut-1/2=0
t-1/2(u¢¢-u¢t-1+3/4ut-2+u¢t-1-1/2ut-2+u(1-m2/t2))=0
u¢¢+1/4ut-2+u(1-m2/t2)=0
u¢¢+u-m2u/t2+1/4ut-2=0
u¢¢+u-(m2u-1/4u)/t2=0
u¢¢+u-((m2-1/4)u)/t2=0
u¢¢+u-au/t2=0
u¢¢+(1-a/t2)u=0, где a=m2-1/4.
Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t1<t2<…, что tn-tn-1®p при n®¥.
Так как в уравнении
u¢¢+(1-a/t2)u=0, т.е. уравнение
u¢¢+(1-(m2-1/4)/t2)u=0
m - постоянное число, то при m³1/4 и при t – достаточно большое, то выражение
1-(m2-1/4)/t2®1, т.е. если уравнение
u¢¢+(1-(m2-1/4)/t2)u=0
сравнить с уравнением u¢¢+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к p, т.е. tn-tn-1®p при n®¥.
Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно,)]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.
Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство .
Использованная литература:
1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 1970г.-720 с.
2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор. литер.”-М., 1953г.-468 с.
3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., “Советская Энциклопедия”, 1978г., т.29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” – 640 с.
4. Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 1966г. – 508 с.
5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. “Наука.”, М., 1972г. – 496 с.