Быстрый поиск

Реферат: Решение уравнений в целых числах

СОДЕРЖАНИЕ:

Уравнения с одним неизвестным
Уравнения первой степени с двумя неизвестными
Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными
Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными
Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М
Программа №1 (уравнения с одним неизвестным)

ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

(1)

Пусть коэффициенты уравнения и - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения

будет целым числом только в том случае, когда нацело делится на . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений и первое имеет целое решение , а второе в целых числах неразрешимо.

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение имеет целые решения , ; уравнение в целых числах неразрешимо, так как его корни ,иррациональны.

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами

(2)

решается легко. Действительно, пусть - целый корень этого уравнения. Тогда

Из последнего равенства видно, что делится без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения

только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень . Тем же методом легко показать, что уравнение

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

(3)

где и - целые числа, отличные от нуля, а - произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты и не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов отличен от единицы, то справедливы равенства , ; уравнение (3) принимает вид

и может иметь целые решения только в том случае, когда делится на . Таким образом, в случае - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , и, сокращая (3) на , придем к уравнению

коэффициенты которого и взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда . Уравнение (3) перепишется так:

(3')

Решая это уравнение относительно, получим

Ясно, что будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда делится на без остатка. Но всякое целое , кратное , можно записать в виде

где принимает произвольные целые значения . Подставим это значение в предыдущее уравнение, тогда

и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'):

, .

Перейдем теперь к случаю .

Покажем, прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числа, , для которых

Т е о р е м а I. Пусть а и b взаимно просты и - какое-нибудь решение уравнения

(3)

Тогда формулы

(4)

при дают все решения уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств

получаем

; .

Так как - целое число и числа и взаимно просты, то должно нацело делиться на , т. е. имеет вид

где - целое. Но тогда

и получаем

, .

Таким образом доказано, что всякое решение имеет вид (4). Остается еще проверить, что всякая пара чисел , получаемая по формулам (4) при целом , будет решением уравнения (3). Чтобы провести та кую проверку, подставим величины , в левую часть уравнения (3):