Курсовая работа: Математичний більярд

Бувають і так траєкторії, які попадають в вершини прямокутника. В такому випадку незрозуміло, як шару належить рухатися після виходу «з кута». Такі траєкторії мають назву особі, і якщо траєкторія попадає в вершину, обривають її, і від траєктор залишається тільки її частина (напівтраєкторія). Але у випадку прямокутного більярду шар можна вважати вилетівшим після попадання в вершину в точності у протилежному напрямку. (Такого висновку не можна робити для більярду в довільному многокутнику.)

Намалювати хоча б одну неперіодичну траєкторію більярда в прямокутнику вже значно важче. Задача про розпізнання періодичних і неперіодичних траєкторій більярда розв’язується за допомогою процедури «випрямлення траєкторій»

Випрямлення траєкторії в довільному многокутнику

Нехай Р1Р2Р3… - довільна не особлива траєкторія більярда в многокутнику Q=А1А2А3..Аn. Побудуємо по цій ламаній спеціальну пряму. А саме, відобразимо наш многокутник Q разом з ламаною Р2Р3Р4 відносно тієї сторони многокутника, на якій лежить точка Р2 (першу ланку ламаної Р1Р2 ми не чіпаємо). Згідно закону віддзеркалення, відрізок Р2Р3 симетричний відрізку Р2Р3 є продовженням відрізку Р1Р2 і перший шматок ламаної Р1Р2Р3Р4… - Р1Р2Р3 нами випрямлений. Тепер відобразимо другий (отриманий з Q при першому віддзеркаленні) багатокутник Q1 щодо тієї його сторони, на якій лежить наступна точка зламу Р3′. Отримаємо наступний багатокутник Q2, і образ ланки Р3′ Р4′ при новому віддзеркаленні буде, знову-таки, продовженням відрізка P1P2P'. Продовжуючи так і далі, ми можемо будь-який шматок ламаної P1P2P3P4- . . «випрямити», тобто послідовними віддзеркаленнями перетворити в відрізок прямої P1P2P3'P4'

Звичайно, для різних траєкторій прийдеться робить різні послідовності випрямляючих віддзеркалень. Проте якщо ми розглядаємо більярд в прямокутнику, ми можемо із самого початку з допомогою віддзеркаленні замостити всю площину прямокутниками, рівними даному, отримавши грати з прямокутників. Намалювавши на цій площині довільний промінь, що не проходить ні через одну з вершин отриманих прямокутників, ми можемо за допомогою процедури, зворотної описаної, «скласти» цей промінь в траєкторію більярда в початковому прямокутнику ABCD. При такому «складанні» ґрат прямокутників в початковий прямокутник ABCD в кожну точку М прямокутника ABCD потрапляє нескінченно багато точок Мm,n площини— саме всі ті крапки які виходять з М описаними вище віддзеркаленнями.

Якщо траєкторія, що виходить з точки М під кутом α до сторони AB, періодична, то це значить, що після випрямляння з цієї траєкторії вийде пряма, що проходить через М і через одну з крапок Мm,n. Якщо нумерувати крапки Мm,n індексами m i n, то крапка Мm0,n0 повинна бути такою, що m0 та n0 — парні числа. Саме (і лише) в цьому випадку більярдна куля проходить через ту ж крапку М під колишнім кутом α: номери m0 та n0 показують, скільки потрібне зробити віддзеркалень щодо вертикальних і горизонтальних сторін прямокутників, щоб отримати з крапки Мm0,n0 крапку М; при цьому непарне число віддзеркалень міня напрям, парний же — не міняє.

Доведемо, що неособлива траєкторія, що виходить з крапки М прямокутника ABCD під кутом α до сторони AВ, періодична в тому і лише б тому випадку, коли тангенс її кута нахилу k=tga вимірний з відношенням сторін а1/а2 прямокутника ABCD.

Дійсно, тільки що було з'ясовано, що періодичні ті і лише ті траєкторії, які (після випрямлення) відповідають прямим, що йдуть з точки М в одну з точок виду М2m,2n. Зауважу, що точка М2m,2n отримується з М зсувом на вектор 2m·АВ + 2·AD (*) так, що ΔМ М2m,2n К має катети з довжинами MK=2ma1 і М2m,2nК=2na2. Таким чином k=tgα=2ma1/2na2=m/n ·a2/a1, тобто k вимірне з a2/a1. Навпаки, якщо число k вимірне з a2/a1, тобто k= m/n ·a2/a1, то будь-яка пряма, що виходить з точки М з тангенсом кута нахилу k, проходить через точку, що отримується з М зсувом на вектор (*), тобто через точку М2m,2n .Якщо ця пряма не проходить через вершини прямокутників, то й відповідає неособлива періодична траєкторія, що й потрібне було довести.

Зазначу, що в даному випадку ми все-таки можемо продовжити і будь-яку особливу, тобто таку, що закінчується в одній з вершин прямокутника, - траєкторію за цю вершину: ніщо не заважає на площині, замощеній нашими прямокутниками, продовжити, наприклад, МС за вершину С вважати тим самим, що, потрапивши у вершину С, більярдна куля вилітає з неї по тому ж шляху, по якому він туди залетів - після відповідних віддзеркалень промінь СМ′ поєднується з променем СМ. Таким чином, у разі більярда в прямокутнику можна вважати, що рух по будь-якій траєктор продовжується необмежено в часі (наприклад, двічі прохідна діагональ АС прямокутника — це періодична траєкторія).

З доведеного твердження виходить:

Теорема 1. Якщо тангенс кута нахилу до траєкторій вимірний з числом k0=a2/a1 то незалежно від початкового положення більярдної кул його рух буде періодичним; в противному випадку траєкторія неперіодична.

З допомогою теореми 1 можна по початковій ланці траєкторії кулі визначати, чи ця траєкторія періодичної або неперіодичної. Для цього треба знайти відношення довжин сторін прямокутника або, що те ж саме, тангенс кута нахилу діагонал прямокутника і тангенс кута, під яким запущена кулька, і поділити перше число на друге: якщо в результаті вийде раціональне число, то траєкторія періодична, якщо ж — ірраціональне, то неперіодична. Звідси слідує також і та обставина, що для фіксованого початкового вектора швидкості кулі траєкторія буде періодичною або неперіодичною незалежно від його початкового положення на прямокутному столі. Тому, якщо запустити паралельно один одному відразу декілька більярдних шарів, вони або одночасно опишуть періодичні траєкторії, або ніколи не пройдуть по своєму старому сліду. Послідовність віддзеркалень цих куль від бортів більярда буде різною, якщо вони знаходяться достатньо далеко один від одного. Якщо ж кулі знаходяться достатньо близько, то послідовність бортів, від яких вони віддзеркалюються, буде однією і тією ж. Якщо першу ланку траєкторії одн більярдної кулі оточити паралельними ланками цілого сімейства траєкторій інших куль, то отримані траєкторії, у разі, коли вони періодичні, заповнять самоперетинаючийся «коридор». Таким чином, знаючи одну періодичну траєкторію, ми паралельним зсувом її ланок одержуємо іншу періодичну траєкторію.

Задача а) Довести, що у всіх неособливих «паралельних періодичних траєкторій» в прямокутнику рівне число ланок і рівні довжини б) Довести, що в прямокутнику снують скільки завгодно довгі періодичні траєкторії.

Рішення. Це виходить з розгляду випрямлених траєкторій, що зображаються на ґратах прямокутників рівними паралельними відрізками.

Як же поводиться на прямокутному столі неперіодична більярдна траєкторія? В круз еліпсі неперіодична траєкторія не заходила в деякі ділянки — в концентричний круг і, відповідно, в софокусний еліпс (або в криволінійні сегменти софокусно гіперболи), проте заповнювала усюди щільно кільце між їх межами. В прямокутнику вона вже заходить в усі його ділянки і заповнює його усюди щільно, В цьому полягає основний результат про неперіодичні траєкторії в прямокутному більярді.

Теорема 2. Якщо k/k0 — ірраціональне число, то будь-яка траєкторія з кутовим коефіцієнтом k усюди щільно заповнює весь прямокутник, тобто перетинає будь-який (скільки завгодно малий) круг, що лежить усередині нього.

Таким чином, якщо точкову більярдну кулю запустити з будь-якого положення М в будь-якому напрямі α такому, що число tgα/tgφ ірраціональну, де φ — кут нахилу діагоналі до горизонтальної сторони, то він рано чи пізно зіткнеться з ншим, вже неточковою більярдною кулею (диском) N, куди б ми його ні поставили і скільки б малий він був! Отже, гравцям (у разі відсутності тертя) не потрібно особливо старатися, щоб потрапити в іншу кулю (або лузу!), треба лише мати терпіння і час, щоб дочекатися потрібного зіткнення.

Проблема побудови траєкторій більярдів в багатокутниках

Особливий клас утворюють більярди в многокутних і багатогранних областях. Ці област характеризуються тим, що у кожної дільниці межі ðQ – сторони многокутника або гран багатогранника – вектор нормалі ‍ň один і той же для всіх точок ц дільниці. Внаслідок цього паралельний пучок білліардних траєкторій, відбившись відсторони (грані) остається паралельним. Для многокутних більярдів мається один елементарний, але водночас потужний геометричний прийом, так званий «прийом барона Мюнхаузена», що значно спрощує дослідження. («Прийом барона Мюнхаузена» - це метод випрямлення більярдних траєкторій, що наводився раніше. А саме, береться більярдна куля О (як у барона Мюнхаузена – гарматне ядро) і, озброївшись системою координат, спрямував вісь Оу в напрямку руху, а вісь Ох – вправо, перпендикулярно осі Оу). Метод випрямлення більярдних траєкторій в многокутнику належить німецькому математику Г.А. Шварцу (1843-1921). Але є перешкода, із-за якої картина поведінки в многокутнику виявляється досі непростою. Це – вершини многокутника (а у багатогранників - ребро).

Не менш цікаві і складні питання, пов’язані з періодичними і всюди щільними траєкторіями в многокутниках. Як приклад: вже в деяких трикутних областях мінімальна кількість ланок періодичних траєкторій може бути як завгодно велике. В випуклих областях діє теорема Биркгофа. В випуклій області Q з гладкою межою існує періодична траєкторія з будь-якою кількістю ланок n≥2 (достатньо вписати в Q ламану максимальної довжини з заданої кількістю ланок).

Три ланкова більярдна траєкторія

Вписаний трикутник АВС найбільшого периметру. Проведемо дотичну D'D'' в точці С і доведемо, що ‹АС D'' = ‹ВС D'. Тоді ‹АСС'>‹ВСС'. Для точки В', симетричної В відносно прямої СС', ламана АС'В' містить ламану АСВ' і тому довше, ніж вона.

Тобто периметр Δ АС'В більш, ніж периметр Δ АСВ, що протирічить вибору точок А, В, С.

Труднощ виникають і при знаходженні всюди щільних траєкторій в многокутниках. Роздивимось особливості траєкторій в різних видих многокутників.

Питання побудови траєкторії в кутах

Більярд в плоскому куті. Застостосовуємо прийом барона Мюнхгаузена до більярда в куті АВС на площині, величину якого позначимо α. Як поводиться більярдна частка, відбиваючись від сторін цього кута? Чи може виявитися так, що вона «заплутається» усередині кута, після нескінченного числа віддзеркалень? Виявляється, не може, і метод випрямляння дає негайний доказ тому. На малюнку, що наведено нижче, показано що найбільше число Nα віддзеркалень частки від сторін кута а може дорівнювати або π/α, якщо це число ціле, або [π/α] + 1. Обидв отримані відповіді можна записати однією формулою: Nα = — [—π/α].

Більярд в двогранному куті. Також просто виходить відповідь на питання про число віддзеркалень променя світла в дзеркалі, що має форму двогранного кута в просторі (мал. а). Величину його плоского кута позначимо α. Зробивши декілька віддзеркалень відносно граней цього кута, отримаємо «книжку», «листи» якої перетинає випрямлена траєкторія (мал. б). Зрозуміло, що число цих «листів» обчислюється по тій же формулі Nα = — [—π/α], оскільки проекція більярдно траєкторії γ на площину δ, перпендикулярну «корінцю» книжки (тобто загальному ребру всіх «листів»), дає знову більярдну траєкторію в плоскому кут величиною α.

Більярд в багатогранному кутку. Питання, поставлене в вищє, можна поставити для довільного багатогранного кута в просторі. Вже в тригранному кутку відповідь на нього стає досить складною. Вперше у всій повноті —"для довільного числа граней кута і в простор довільної розмірності — цю задачу вирішив в 1978 р. Я.Р. Синай. Він довів, що снує рівномірна оцінка числа ударів частки з гранями кута, тобто існує таке число N = N(Q), залежне тільки від «геометрії» кута Q (від кутів між всілякими гранями різних розмірностей), що частка зможе віддзеркалитись в куті не більш N раз від його граней незалежно від початкового руху, після чого рухатиметься рівномірно і прямолінійно. Через десять років було знайдено інше рішення.

Основні методи побудов траєкторій в трикутниках

Мінімізація периметра

Якщо межа більярдного столу має точки зламу, то метод Біркгофа перестає «працювати» — вершини вписаного багатокутника найбільшого периметра можуть потрапити в кутові точки межі. Наприклад серед трикутників, вписаних в даний трикутник АВС, найбільший периметр має сам ΔАВС! Як же шукати періодичні більярдні траєкторії в трикутнику?

Для гострокутного трикутника вихід полягає в тому, щоб замінити максимальний периметр на мінімалъний. Впишемо в даний трикутник АВС трикутник ХYZ якнайменшого периметра з вершинами на сторонах АВ, BC і СА. Cтверджуємо, що ХУZ — більярдна траєкторія.

Задача. Довести, що трикутник, вершини якого — підстави висот даного трикутника АВС, є більярдною траєкторією в ΔАВС.

Задача показує, як побудувати триланкову більярдну траєкторію в гострокутному трикутнику.

Ідея розглядати вписаний трикутник якнайменшого периметра застосовна і до фігур, обмежених декількома гладкими кривими. Нажаль, цей спосіб не спрацьовує для тупокутних трикутників — для них вписаний трикутник якнайменшого периметра вироджується у висоту, опущену з вершини тупого кута. Більш того, більярд в тупокутному трикутнику не має триланкових періодичних траєкторій. Проте це не означає, що ідея мінімізац периметра даремна для побудови періодичних більярдних траєкторій в тупокутних трикутниках; її треба лише з'єднати з методом випрямляння.

Механічна нтерпретація:

Надінемо на кожну із сторін гострокутного трикутника АВС по малому колечку і пропустимо через них натягнуту резиночку ХУZ (див. мал. Резиночка прагне стиснутися, тому колечки займуть положення у вершинах вписаного в АВС трикутника ХУZ якнайменшого периметра. Розглянемо колечко на стороні АВ. Оскільки воно не рухається уздовж сторони трикутника, рівнодіюча сил натягнень Т1 і Т2 перпендикулярна цій стороні. Крім того, вектори Т2 і Т1 мають однакову довжину, оскільки натягнення уздовж резинки постійно. Отже, вектори Т1 і Т2 утворюють взаємно доповнюючі кути з відрізком АВ. Значить, ХYZ — більярдна траєкторія. Отже, ми довели, що вписаний трикутник якнайменшого периметра є періодичною траєкторією в ΔАВС траєкторією.

Страницы: 1, 2, 3