Реферат: Методика изучения числовых систем

1) Проверка домашнего задания.

2) Устные упражнения на сложение и вычитание дробей.

3) Устные примеры на деление произведения на число:

4) Сокращение дробей:

5) Повторение определения умножения на целое число:

6) Определение умножения дроби на целое число:

7) Решение задач в одно действие на умножение дроби на целое »»

число. Например: 1 м3 сосновых дров весит т. Найти вес 2 м3 этих

дров (в тоннах), 7 м3.

8) Сформулировать правило умножения дроби на целое число:

чтобы умножить дробь на целое число, достаточно числитель дроби умножить на это число, оставив прежний знаменатель.

9) Решение примеров на умножение дроби на целое число:

10) Составить задачи, при решении которых требовалось бы умножить.

11) Домашнее задание.

Приведенные в этом плане устные упражнения на деление про­изведения на число и сокращение дробей имеют цель подготовить учащихся к обоснованию сокращения дробей, в числителе которых стоит произведение. Учащиеся вспоминают, как разделить произве­дение на число и при сокращении дробей ведут следующие рассуждения: чтобы сократить дробь, надо числитель и знаменатель разделить на одно и то же число; в числителе стоит произведение; чтобы произведение разделить на число, достаточно один из мно­жителей разделить на это число. Поэтому при сокращении дроби делим 10 и 25 на 5.

На следующем уроке следует предложить учащимся на несколь­ких примерах умножения дроби на целое число сравнить множимое и произведение по величине. Установить, что для дробей, как и для целых чисел, увеличить дробь в несколько раз - значит умножить ее на целое число. На основании рассмотрения примеров вида

делается вывод об изменении величины дроби с увеличением чис­лителя или уменьшением знаменателя в данное число раз и дается частный прием умножения дроби на целое число, годный для слу­чая, когда знаменатель дроби делится на данное целое число:

При изучении умножения смешанного числа на целое вначале рассматриваются два способа. Например:

Последние рассуждения показывают справедливость распредели­тельного закона умножения относительно суммы, когда одно из слагаемых дробь. Рассматривается пример вида

и делается вывод, что при умножении смешанного числа на целое в большинстве случаев проще отдельно умножить целое и дробь на целое число.

Деление дроби на целое число

После умножения дроби на целое число следует перейти к делению целого числа и дроби на целое число, так как нахождение дроби числа, предшествующее умножению на дробь, требует деле­ния на знаменатель. На это указывается в большей части методической литературы. Определение действия деления дается как действия, обратного умножению.

Рассмотрим пример: 4 : 5.

Сначала проводятся рассуждения: чтобы разделить 4 на 5, представим мысленно каждую единицу разделенной на пять равных частей, тогда 4 единицы будут содержать 20 пятых частей, разделив 20 пятых частей на 5 получим , что проверяется:

Мы нашли дробь, которая, будучи умноженной на 5, даст 4. Следовательно, деление произведено верно. Запишем:

Вывод. От деления целого числа на целое получается дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю. Об­ратно: всякую дробь можно считать за частное от деления ее чис­лителя на знаменатель.

Например,  равно частному от деления 3 на 7, так как ·7=3.

Изучение деления дроби на целое число начинается с рассмотре­ния примера умножения дроби на целое число, для которого соста­вляется обратная задача. Например:

обратная задача:

требуется найти такую дробь, которая, будучи умножена на 4, даст в произведении . Такая дробь будет , запишем:

В результате рассмотрения ряда подобных примеров учащиеся приходят к выводу, что при делении дроби на целое число доста­точно числитель разделить на целое число, оставив прежний знаме­натель. После этого ставится вопрос, как поступать в том случае, когда числитель данной дроби не делится на целое число. Рассматривается второй прием умножения: , отсюда .

Получается второй способ деления. Применив этот способ к преды­дущему примеру, убеждаются, что второй способ - общий, годится для любых случаев деления дроби на целое число (не равное 0). Действительно,

Правило формулируется так: чтобы разделить дробь на целое число, достаточно знаменатель дроби умножить на это число, оста­вив числитель прежним.

При делении дроби на целое учащиеся встречаются с новым слу­чаем сокращения дробей, поэтому предварительно рассматривается сокращение дроби вида: .

В связи с изучением деления дроби на целое, ряд авторов учебников предлагает рассмотреть деление дробей с одинаковыми знаменателями. К этому случаю деления можно прийти из рассмотре­ния следующего примера на умножение:

Чтобы найти множитель, достаточно, . Получается деление по содержанию; 4 показывает, что , содержатся в  четыре раза. Приходим к выводу, что при делении дробей с одина­ковыми знаменателями достаточно числитель первой дроби разде­лить на числитель второй.

При изучении деления смешанного числа на целое тоже следует разобрать с учащимися два способа выполнения действия, при пер­вом способе смешанное число обращается в неправильную дробь и производится деление дроби на целое число, при втором - применяется распределительный закон деления относительно суммы и делится отдельно целая и дробная часть смешанного числа (предварительна устанавливается справедливость применяемого закона деления). На­пример.

в дальнейшем промежуточные записи пропускаются).

В результате рассмотрения примеров учащиеся отмечают те слу­чаи, в которых рациональнее применять второй способ деления. Подчеркивается удобство 2-го способа при устных вычислениях.

На этом кончается первая часть изучения действий над дробями, которая тесно примыкает к теме о целых числах, так как определения действий, рассмотренных в этой части, мало отличаются от определений соответствующих действий над целыми числами.

Умножение на дробь

Вторая часть начинается с изучения действия умножения на дробь и представляет новый этап в изучении действий над дробями. Смысл действия умножения на дробь резко отличается от умножения на целое число. Учащиеся привыкли до сих пор понимать под умножением сложение равных слагаемых, произведение считать больше множимого (смысл умножения на единицу им кажется мало отли­чающимся от обычного понимания умножения). Для умножения на дробь все эти представления не подходят. Поэтому определение умножения на дробь нелегко воспринимается учащимися. Необходимо показать учащимся целесообразность введения нового определения для умножения на дробь и конкретный смысл этого определения. В связи с этим методическая и учебная литература предлагает различные подходы к введению определения умножения на дробь или к выводу правила умножения на дробь, которое в большинстве слу­чаев заменяет определение.

В учебной и методической литературе XVIII века и первой поло­вины XIX века существовал следующий подход к выводу правила умножения на дробь.

Рассуждения велись так: чтобы умножить 5 на , умножим 5 сначала на 3, получим произведение 15, которое больше истинного, так как множитель увеличен в 4 раза; чтобы получить истинное произведение, надо полученное произведение 15 уменьшить в 4 раза, будем иметь

Такой подход неправилен с точки зрения логического построе­ния математики, так как свойства произведения целых чисел рас­пространялись на произведение в случае дробного множителя, хотя еще не установлено, что значит „умножить число на дробь" и можно ли распространить эти свойства на новое произведение. Кроме того, этот подход страдает формализмом' из этих рассуждений не сле­дует, к каким задачам возможно применение действия умножения на дробь.

Существует еще и такой подход:

(по переместительному закону умножения) =

Отсюда выводится правило. Ошибка этого рассуждения в том, что распространяется переместительный закон на действие, которое еще не определено и не доказано, что оно обладает переместительным законом. Рассуждение было бы правильно, если бы оно построено было так: произведение целого числа на дробь должно быть составлено так, чтобы порядок сомножителей не имел значе­ния, т. е. для действия умножения на дробь оставался бы справед­ливым переместительный закон. Была попытка дать общее опреде­ление действия умножения, пригодное и для целого и для дробного множителя. Это определение было дано в следующей формулировке:

умножить одно число на другое - значит из множимого составить новое число так, как множитель составлен из единицы. Смысл рас­суждений при этом был следующий.

При умножении на целое число имеем:

При умножении 5 на , так как множитель

т. е. единица разделена на 4 и полученное частное взято слагаемым 3 раза, должны получить:

Это определение было в ходу в ряде учебников дореволюционной школы. Основной недостаток этого определения - формальный характер его образования. Из определения неясно, к каким конкретным задачам можно применить умножение на дробь. Нельзя подвести учащихся к составлению этого определения из рассмотрения конкретных задач. Вторым недостатком является математическая неточность. Из определения неясен способ составления множителя из единицы; число может быть составлено из единицы различными способами, как целое, так и дробное. Число  может быть составлено так:

Если при умножении 5 на  произведение из множимого составить так же,  как  составлено из единицы, то получим

т.е. совсем другой ответ, чем раньше. Кроме того, общее определение умножения затушевывает необходимость нового определения при умножении на дробь.

Перед введением определения действия умножения на дробь рассматривается решение задачи на нахождение части числа. В программе и в стабильном учебнике эта задача носит название: „нахождения дроби числа". Замена слова „части” словом „дроби" вызвана, очевидно, расширением рассматриваемой задачи; в стабильном учебнике рассматриваются и такие задачи, например: „найти  числа ”, (т.е. требуется найти число долей от числа большее, чем во всем числе). Система упражнений должна быть составлена так, чтобы первые задачи и примеры помогли учащимся повторить сведения, полученные из начальной школы, т. е. числа должны быть подобраны так, чтобы само число и искомая доля числа были це­лым числом.

Первая группа упражнений.

Пример. Найти  от 60.

Решение.  от 60 составляет 60 : 5 = 12.

от 60 составляют 12 · 4 = 48.

Вторая группа упражнений: нахождение части от целого числа,

когда искомая доля - дробь.

Пример. Найти  от 11.

Решение.

В дальнейшем записи следует сокращать.

Пример. Найти   от        10.

Третья группа упражнений: нахождение части от дроби.

Пример. Найти  от .

Решение. .

или

Следует подчеркнуть на соответствующих конкретных задачах, что найти часть от дроби - значит определить, какую часть от це­лого составляет часть от части этого целого.

Пример.  всей земли, принадлежащей колхозу, отведено под хлебные культуры;  земли, занятой хлебными культурами, засеяно рожью. Какая часть земли, принадлежащей колхозу, засеяна рожью?

Рожью засеяно  всей земли.

Рассмотрим рисунок 10, где заштрихован участок земли, отведен­ный под хлебные культуры. Из участка, отведенного под хлебные культуры, выделена часть под рожь (рис.11).

                                 Рис.10                                     Рис.11

Формулировку задачи „найти дробь числа” следует вводить не cразу, сначала пользоваться старой формулировкой „найти часть числа”, конкретный смысл которой учащимся вполне ясен. К новой формулировке можно приучить постепенно, напоминая, что дробью называется одна или несколько равных частей единицы. Введение термина „дробь числа” облегчит формулировку задач, например, „найти  от “, а также определение умножения на неправиль­ную дробь.

Проработке задачи нахождения дроби числа следует посвятить достаточное количество времени; это создаст прочную базу для изу­чения умножения на дробь. Часть трудных вопросов этой темы будет, таким образом выделена и подготовлена. А именно: что значит найти дробь числа? Как найти? Какие могут быть случаи? Как записать формулу решения в виде дроби? При этом можно рассмотреть и сокращение дроби, когда числитель и знаменатель представляют произведение.

Страницы: 1, 2, 3