Быстрый поиск

Реферат: Структура аффинного пространства над телом

В частности, аффинный репер является базисом содержащимся в

Векторная интерпретация аффинных отображений.

Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений

Предложение 7.2. Пусть , - два векторных пространства над одним и тем же телом и (соответственно ) – аффинная гиперплоскость в (соотв. ), не проходящая через начало; обозначим (соответственно ) векторную гиперплоскость, параллельную (соответственно ).

А) Если - линейное отображение, такое, что , то ограничение на есть аффинное отображение в , линейная часть которого есть ограничение на .

Б) обратно, если - аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение , ограничения которого на совпадает с .

Доказательство.

А) Если линейно и , то для любых точек из имеем и . Ограничения на аффинно с линейной частью , .

Б) Обратно, пусть- аффинное отображение. Фиксируем точку в и обозначим через (соответственно ) векторную прямую в (соответственно ), порожденную (соответственно ) (рис 4). Тогда , , и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:

1. ,

2. Ограничения на равно линейной части .

Но существует единственное линейное отображение из в , удовлетворяющее этим условиям ( определено своими ограничениями на дополнительные ВПП и пространства ); тогда ограничение на - есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и , и принимающее в то же значение, что и , а тем самым равное , откуда вытекает доказываемый результат.

Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями в и линейными отображениями в , удовлетворяющими условию .

С другой стороны, если , и , это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).

Рис.4

Наконец, если - автоморфизм и - аффинная гиперплоскость в , то включение влечет равенства . В самом деле, есть аффинная гиперплоскость в , и достаточно применить следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в .

Т.о. мы можем сформулировать

Предложение 7.3. Пусть - векторное пространство, - аффинная гиперплоскость в , не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций на стабилизаторе в (подгруппу , состоящую из изоморфизмов , для которых ).

Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, , - векторные продолжения аффинных пространств , , а , - образы , при канонических погружениях , : всякое аффинное отображение в , отождествляется с линейным отображением пространства в пространство , удовлетворяющим требованию , и группа аффинных биекций отождествляется с подгруппой , сохраняющей аффинную гиперплосклость

Случай конечной размерности.

Если аффинное пространство имеет конечную размерность , то в можно выбрать базис так, что при и . Тогда есть декартов репер в с началом (рис 4).

В этом случае является множеством точек пространства , таких, что ; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением в базисе . Эндоморфизмы пространства , удовлетворяющие условию , - это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе имеет вид

, (2)

где - квадратная матрица порядка . Эндоморфизму с матрицей (2) соответствует аффинное отображение , координатное выражение которого в декартовом репере имеет форму

, (3)

Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство . Таким образом, получается

Теорема 7.4. Группа аффинных биекций -мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы , образованной матрицами вида (2), где принадлежит .

В частности, группа аффинных биекций тела изоморфна подгруппе в , состоящей из матриц вида .

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

Ниже мы обозначаем через , два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами над произвольными телами . Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений в . Для ясности начнем со случая инъективных отображений.

Теорема 8.1. Допустим, что . Для того, чтобы инъективное отображение было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:

1. Образ любой аффинной прямой из был аффинной прямой в ;

2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство

достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что удовлетворяет условиям 1) и 2).

А). Образы при двух различных прямых , из суть также две различные прямые.

В самом деле, пусть , - прямые в , имеющие один и тот же образ , пусть - две различные точки их общего образа. Тогда прообразы точек и принадлежат и одновременно и различны (в силу иньективности ), откуда следует, что .