Быстрый поиск

Реферат: Структура аффинного пространства над телом

Б). Отображение , не зависит от выбора в .

В самом деле, пусть другая точка и , таковы, что . Если

- несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ тоже настоящий параллелограмм, откуда

Если точки принадлежат одной прямой , то предположение позволяет выбрать в точки так, что . Применяя предыдущий случай, имеем

откуда.

Отображение обозначаем отныне просто .

В). Отображение инъективно и удовлетворяет условию

. (1)

Инъективность сразу следует из инъективности . С другой стороны, для любых данных выберем в такие точки , , , и . Тогда .

Д). Существует отображение , такое, что

. (2)

Доказательство. Достаточно найти , удовлетворяющее условию (2) при . Для заданной пары выберем , , в так, что , . Так как точки , и коллинеарны, то коллинеарны и векторы ; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем , такого, что . Остается доказать, что не зависит от вектора (по предположению ненулевого).

1). Если два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и , ; в противном случае образы двух прямых , , проходящих через одну и ту же точку с направляющими , совпадали бы, что невозможно в силу А).

Для любого имеем

откуда в силу неколлинеарности ,

2). Если , - коллинеарные ненулевые векторы, то предположение позволяет выбрать так, что пары и свободны. Отсюда находим, что

Так для каждого отображение , есть константа, мы обозначим ее через .

Е). Отображение является изоморфизмом тел.

Выбрав , мы увидим прежде всего, что соотношения и влекут (с учетом )

и ,

т.е. показывают, что - гомоморфизм тел.

Наконец, для любой точки отображение есть биекция на прямую ; ограничение на есть биекция на прямую . Следовательно, композиция , биективна. Отсюда вытекает, что отображение биективно.

Итак, изоморфизм тел, полулинейное отображение, ассоциированное с , и полуаффинное отображение.

Случай плоскости.

Если и двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности . Мы можем, таким образом, сформулировать

Следствие. Если ,аффинные плоскости и - инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в есть прямая в , то полуаффинное отображение.

Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если инъективное отображение в себя, такое, что образ любой прямой есть прямая, параллельная ; тогда можно непосредственно доказать, что дилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:

Теорема 9.1. Пусть ,аффинные пространства над телами , , отличными от поля ; для того, чтобы отображение было полуаффинным, достаточно, чтобы

1). Образ любой прямой в был прямой в , либо сводился к одной точке.

2). Аффинное подпространство в , порожденное , имело размерность .

Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что удовлетворяет условиям 1) и 2).

Лемма 1. Если есть ЛАМ в , то - ЛАМ в .

Доказательство. Пусть и - две различные точки в . Тогда прямая есть по условию 1) образ прямой ; так как прямая содержится в , прямая содержится в . Результат теперь вытекает из теоремы 4.8.

Лемма 2. Если - ЛАМ в и множество непусто, то оно является ЛАМ в .

Доказательство. Результат очевиден, если сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек , прямая содержится в согласно 1). Таким образом, прямая содержится в и теорема 4.8 показывает, что есть ЛАМ.

Лемма 3. Для любой непустой части пространства

. (1)

Доказательство. есть ЛАМ в , содержащее ; по лемме 1, есть ЛАМ в , содержащее . Отсюда следует включение

Аналогично, по лемме 2, есть ЛАМ в , содержащее , а потому и ; имеет место включение ; применение отображения дает .

Окончательно получаем равенство (1).

Лемма 4. Пусть - пара параллельных прямых в . Если сводится к точке, то же имеет место и для . Если - прямая, то и - прямая, параллельная .

Доказательство. Мы можем предположить, что . Тогда есть ЛАМ размерности 2 в , порожденное двумя точками , одной из прямых и точкой другой прямой; по леммам 2и 3, есть ЛАМ размерности .