Быстрый поиск

Курсовая работа: Расчёт общей и местной вибрации корабля

(2.4)

2.6 Общий интеграл дифференциального уравнения для форм главных свободных колебаний

(2.5)

2.7 Граничные условия на свободно опёртых концах балки

Граничные условия для рассматриваемого стержня имеют вид:

Внося сюда выражение (2.2), получаем граничные условия для форм свободных колебаний:

(2.6)

2.8 Составление уравнений из условий подчинения граничным условиям на левом и правом концах балки

Подчиняя выражение (2.5) граничным условиям (2.6) функции wk (х) при х = 0 и х = L получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных Ak, Bk, Ck и D/e:

(2.7)

2.9 Система линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных интегрирования

(2.8)

2.10 Определитель системы. Уравнение частот

Интересующее нас решение, отличное от нуля, получаем при равенстве нулю определителя упомянутой выше системы уравнений (2.8):

Уравнение это называется уравнением частот.

(2.9)

откуда уравнение частот будет иметь вид:

(2.10)

Отсюда уравнение частот примет следующий вид:

sin μк = 0

Корни этого уравнения частот будут определяться по формуле:

μk= πk,

где k=l, 2, 3,...

2.11 Формулы для определения частот свободных колебаний

По найденным из уравнения частот корням μk (k = 1, 2, 3,. .) с помощью формулы (2.4) определяются частоты свободных колебаний стержня:

(2.11)

Заметим, что обычно корни μk,, а, следовательно, и частоты λk, нумеруются в порядке их возрастания:

2.12 Расчет значения частот первых пяти тонов свободных колебаний свободно опертого призматического стержня

Расчёт значения частот первых пяти тонов свободных колебаний свободно опёртого призматического стержня начинается с вычисления значения интенсивности массы самого призматического стержня, а именно:

тогда частоты первых пяти тонов свободных колебаний (2.11) будут равны:

при k = 1:

при k = 2:

при k = 3:

при k = 4:

при k = 5:

2.13 Выражение для определения форм свободных колебаний свободно опёртого призматического стержня

Из уравнений системы (2.8), если учесть результат sin μк = 0, следует, что:

Вк = 0.

Таким образом, лишь постоянная Dk оказалась не равной нулю. Тогда на основании формулы (2.5), если подставить в нее найденные выше значения Ak, Bk и Ck, получим выражение для форм колебаний свободно опертой балки:

(2.12)

Таким образом, форма колебаний может быть определена с точностью до постоянного множителя, значение которого обычно выбирается исходя из удобства вычислений.

2.14 Расчёт и построение форм первых пяти тонов главных свободных колебаний свободно опёртого призматического стержня

Рис.2.2 Форма свободных колебаний однопролётной свободно опёртой балки.

2.15 Расчёт значений частот первых пяти тонов свободных колебаний свободно опёртого призматического стержня с удвоенным по сравнению с заданным значением интенсивности веса балки

Вычисление значения интенсивности массы самого призматического стержня с учетом удвоенного, по сравнению с заданным, значением интенсивности веса балки, а именно:

тогда частоты первых пяти тонов свободных колебаний (2.11) будут равны:

при k = 1:

при k = 2:

при k = 3:

при k = 4:

при k = 5:

2.16 Расчёт значений частот первых пяти тонов свободных колебаний свободно опёртого призматического стержня с удвоенным по сравнению с заданным значением длины балки

при k = 1: ,

при k = 2:

при k = 3:

при k = 4:

при k = 5:

2.17 Приведение результатов расчёта значений частот первых пяти тонов свободных колебаний свободно опёртого призматического стержня в сводной таблице

	При заданных значениях интенсивности веса и длины балки, Гц	При удвоенном по сравнению с заданным значением интенсивности веса балки, Гц	При удвоенном по сравнению с заданным значением длины балки, Гц
при k = 1	111,7	75,4	27,9
при k = 2	426,7	301,8	111,7
при k = 3	960,12	679,1	251,1
при k = 4	1706,8	1206,4	446,4
при k = 5	2667,01	1885,01	697,5

2.18 Сопоставление результатов расчётов. Выводы

Увеличение тона главных свободных колебаний ведёт к увеличению узловых точек. Чем больше тон свободных колебаний, тем больше частота колебаний. Графиком функции, описывающей форму свободных колебаний, является синусоида (полусинусоида).

При увеличении интенсивности веса балки и длины балки возрастание частоты колебаний, с увеличением тона колебаний, происходит медленнее по сравнению с расчетами по заданным значениям интенсивности веса и длины балки. Чем больше интенсивность веса и длины балки, тем меньше частота колебаний, причем величина длины балки больше влияет на частоту колебаний, чем интенсивность веса балки.

3. Местная вибрация корабля. Вибрация судовых пластин. Свободные колебания гибких пластин

3.1 Расчетная схема прямоугольной пластины

Прямоугольная пластина со сторонами "а", "в" в плане, толщиной "h" находится под воздействием в срединной плоскости усилий Tx, параллельных оси x, и усилий Ty, параллельных оси у.

Рис. 3.1 Расчётная схема прямоугольной пластины.

3.2 Исходные данные для расчёта свободных колебаний гибких пластин

Размер

пластины

"а"

Размер

пластины

"в"

Толщина

пластины

"h"

Сжимающее усилие в направлении

оси ОX

"σx",

МПа

Сжимающее усилие в направлении оси ОY

"σy", МПа

Модуль упругости

материала

"Е",

МПа

0,95

0,02

1200

400

210000

3.3 Силы упругости, действующие на элемент пластины

(3.1)

где D - цилиндрическая жесткость пластины;

Tx=±σxh - усилие в срединной плоскости, параллельное оси x и приходящееся на единицу длины кромки;

Ty=±σyh - такое же усилие, но параллельное оси у.

Усилия Tx и Ty, считаются положительными при растяжении.

3.4 Цилиндрическая жёсткость пластины

(3.2)

где h - толщина пластины.

3.5 Силы инерции колебательного движения элемента пластины

(3.3)

где g - ускорение силы тяжести;

р - интенсивность нагрузки на пластину от ее веса и от присоединенных масс воды, совершающих колебания вместе с пластиной.

3.6 Интенсивность нагрузки на пластину от её веса и присоединённых масс воды

p=pпл+ pв. (3.4)

Интенсивность веса самой пластины равна:

Рпл=γсh, (3.5)

где γс - объемный вес материала пластины (для стали равный 76,8.10-3 н/см3 или 7,85·10-3кг/см3).

Для нахождения интенсивности присоединенной массы воды можно воспользоваться приближенной зависимостью, согласно которой pв, так же как и pпл от координат "x" и "у" не зависит:

pв = к γ в, (3.6)

где γ - объемный вес воды,

в -длина наименьшей стороны пластины,

к - коэффициент, определяемый по табл.3.2

Коэффициенты "к" для расчёта интенсивности нагрузки от присоединённых масс воды при колебаниях пластины

Отношение сторон пластины а/в	Тип пластины
Отношение сторон пластины а/в	Свободно опёртая по всему контуру	Жёстко заделанная по всему контуру
1	2	3
1.0	0.42	0.33

3.7 Дифференциальное уравнение свободных колебаний пластины

Учитывая даламберову силу инерции и силу упругости, дифференциальное уравнение свободных колебаний пластины будет иметь вид:

(3.7)

3.8 Уравнение для определения частот свободных колебаний пластины

(3.8)

3.9 Выражение для формы свободных колебаний пластины

Свободно опертая пластина. Точное решение уравнения (3.6) может быть получено лишь для некоторых сравнительно простых вариантов закрепления сторон опорного контура пластины. Так, в случае свободно опертой пластины можно удовлетворить точно всем граничным условиям, если принять для функции wn (x, у) выражение вида:

(3.9)

где параметры n=1,2,3… и p=1,2,3… характеризуют форму (тон колебаний) свободных колебаний пластины в направлениях соответственно "x" и "у".

3.10 Общее выражение для определения значений частот свободных колебаний пластины

Подставив выражение (3.7) в дифференциальное уравнение (3.6), из условия неравенства нулю коэффициента Апр получим уравнение для определения частот λпр рассматриваемой свободно опертой пластины:

(3.10)