Быстрый поиск

Дипломная работа: Алгебра октав

Оглавление

Введение

§1.Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

§2. Дополнительные сведения об октавах

2.1 Действия над октавами

2.2 Сопряженные октавы и их свойства

2.3.Некоторые тождества для октав

§3. Теорема Гурвица

3.1 Нормированные линейные алгебры

3.2 Теорема Гурвица

§4. Обобщенная теорема Фробениуса

Список литературы

Введение

Одному известному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежало высказывание- "Поскольку слова могут быть сравнены с буквами, употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, и наоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образом приспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся к языку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснить трудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующих конкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал ее предметом своего изучения".

Предметом моего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры - алгебра октав.

Цель данной исследовательской работы- выявить сущность алгебры октав, а так же выявить, каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т.е. над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего "живого" нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона.

Рассмотрим алгебраическое определение октавы.

Октавой - называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

Здесь обозначены:

O - октава,

Q - кватернионы,

E - мнимая единица. .

Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом.

Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.

Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения.

Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если ,обозначить октаву покомпонентно как

то сопряженная ей октава будет иметь вид:

§1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

Определение. Алгеброй октав называется алгебра , если:

I. Алгебра - альтернативная линейная алгебра;

II. Тело кватернионов есть подтело алгебры ;

III. е2 = -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k;

IV.Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры , содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй .

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = uK vK, где К - множество кватернионов. По определению, (u1;v1) = (u2;v2) u1 = u2 v1 = v2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u1;v1) + (u2;v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2);

(u1;v1) * (u2;v2) = (u1u2 - v2v1 ; v2 u1 + v1 ū2).

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.

1) ((u1;v1) + (u2;v2)) + (u3;v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) + (u3; v3) = ((u1 + u2) + u3; (v1 + v2) + v3) = (u1 +( u2 + u3); v1 + (v2 + v3)) = ((u1; v1) + (u2+ u3; v2+ v3) = (u1; v1) + ((u2; v2) + (u3; v3)),

т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u1; v1) + (u2; v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2) = (u2 + u1; v2 + v1) = (u2; v2) + (u1; v1),

т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v ; x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0U.

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:

((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) (u3; v3) = ((u1 + u2) u3 - 3(v1 + v2); v3(u1+u2)+ (v1 + v2)ū3) = (u1 u3 + u2 u3 - 3v1 - 3v2; v3u1+ v3u2+ v1 ū3 + v2ū3).

С другой стороны:

(u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3) = (u1u3 - 3v1; v3u1 + v1ū3)+(u2 u3 - 3v2; v3u2+ v2ū3)=(u1 u3 - 3v1 + u2 u3 - 3v2; v3u1 + v1ū3 + v3u2+ v2ū3).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3),

т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u3; v3) ((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3) (u2; v2) + (u3; v3) (u1; v1).

Действительно, с одной стороны:

(u3; v3) ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3) v (u2+ u1 ; v1 + v2) = (u3 (u1 + u2); ()v3;

(v1+ v2)u3+ v3())= (u3 u1 + u3u2 -1v3 - 2v3; v1 u3 + u2 u3+ v3ū1+ v3ū2);

с другой стороны:

(u3; v3) (u1; v1) +(u3; v3) (u2; v2) = (u3 u1 - 1v3; v1 u3 + v3ū1)+ (u3 u2 - 2v3; v2 u3 + v3ū2)= (u3 u1 - 1v1 + u3 u2 - 2v3; v1 u3 + v3ū1 + v2 u3 + v3ū2).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 u2 - 2v1; v2 u1 + v1 ū2) (u3; v3) = ((u1 u2 - 2v1)u3 -3(v2 u1 + v1ū2);

v3(u1 u2 - 2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū3) = (u1 u2 u3 - 2v1u3 -3v2 u1 -3v1ū2; v3u1u2 - v32v1 - v2 u1 ū3 - v1ū2 ū3).

С другой стороны:

(u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3)) = (u1; v1) (u2u3 - 3v2; v3u2 + v2ū3) = (u1 (u2u3 - 3v2) – v1;

v1+ (v3u2 + v2ū3) u1) = (u1u2u3 - u13v2 v1 - u32v1; v1- v12v3 + v3u2 u1 + v2ū3 u1).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) ≠ (u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3))

т.е. умножение в не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u1;v1) (u2;v2) = (u1u2 - 2v1 ; v2 u1 + v1 ū2);

(u2;v2) (u1;v1) =(u2u1 - 1v2 ; v1 u2 + v2 ū1).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u1;v1) (u2;v2) ≠ (u2;v2) (u1;v1)

т.е. умножение в не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1 u2 - 2v1; v2 u1 + v1 ū2) (u2; v2) = ((u1 u2 - 2v1)u2 -2(v2 u1 + v1ū2);

v2(u1 u2 - 2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū2) = (u1 u2 u2 - 2v1u2 -2v2 u1 -2v1ū2; v2u1u2 - v22v1 - v2 u1 ū2 - v1) = (u1 u2 u2 - 2v1 (u2 + ū2) – |v2|2 u1; v2u1 (u2 + ū2) - v1- |v2|2v1) .