Дипломная работа: Алгебра октав
Здесь следует учитывать, что 2v2 = v22 = |v2|2 и u2 + ū2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.
9) Покажем, что имеет место равенство
(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = ((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1).
Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:
(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = (u2; v2) (u2u1 - 1v2; v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1 u2 - 2v1) v2;
(v1 u2 - v2 ū1) u2 + v2 ) = (u2u1 u2 - u21v2 v2 - u12v2; v1u2u2 + v2 ū1 u2 + v2 - v22v1) = (u2u1 u2 - u1 |v2|2 - (u2 + ū2) 1v2; v1u2u2 + v2 ū1(u2 + ū2) - |v2|2 v1).
Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:
((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1) = (u2 u2 - 2v2; v2 u2 + v2 ū2) (u1; v1) = ((u2 u2 - 2v2) u1 - 1(v2 u2 + v2 ū2);
v1(u2 u2 - 2v2) + (v2 u2 + v2 ū2) ū1) = (u2 u2 u1- 2v2 u1 - 1v2 u2 - 1v2 ū2; v1u2 u2 - v12v2 + v2 u2 ū1 + v2) = u2 u2 u1 - 1v2(u2 + ū2) - |v2|2u1; v1u2 u2 - v1 |v2|2+ v2 ū1 (u2+ ū2).
Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.
Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в альтернативно.
10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в решим уравнение:
(u; v) (x; y) = (u; v),
в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда:
(u; v) (х; у) = (u; v) (хu - y; уи + v) = (и; v)
Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=,откуда:
(u-1 u) x = u-1v+ u-1ux = v =1+ уи.
Подставим полученное значение во второе уравнение системы:
v(1+ уи) + уи = vv+ v уи+ уи = vуи+уи=0 (+1)уи=0,
откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда = 0 и из первого уравнения системы
их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в .
В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.
Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в решим уравнение:
(х; у) (u; v) = (u; v),
в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0U и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:
(х; у) (и; v) = (и: v) (хи - y; vх - уū) = (и; v)
Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=, откуда:
x(uu-1) = y+ u*u-1 x = 1+ 2yū,
Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:
v(1+ 2yū) + уū= vv + 2 vyū + уū= vyū+ уū= 0 (+ 1)уū =0,
откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в . Обозначим (1; 0) = 1U,
11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:
(u; v) (х: у) = (1; 0) (их - v; уи+ v) = (1; 0)
Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=2, откуда:
(u-1u) x = u-1v + u-1 x =2+2v = 2 + 2yu.
Подставим полученное значение во второе уравнение системы:
v + + уи= 0 2 + 2 vyu + уи= 0 (|u|2 + |v|2) yu = - vu (|u|2 + |v|2) y = - v,
откуда
у = - .
Тогда из второго уравнения системы
v- u =0v- =0 = x= .
Итак, пара
(x; y) = ; -
является правым обратным элементом для элемента (u; v) в .
Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в решим уравнение:
(х; у) (u; v) = (1; 0),
в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:
(х; у) (u; v) = (1; 0) (xu - y; vx + yū) = (1; 0)
Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=2 откуда:
x (u u-1) = y2 + 2 x = 2 (yū + ū).
Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:
v2(yū + + ū) + yū = 0 (|u|2 + |v|2) yū = - vū
откуда при ū ≠ 0 следует, что у = - . и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем
xu - = 1,
откуда следует, что
xu= 1 - = .
Умножим это равенство справа на u-1=, тогда
x = * =
Итак, пара
(x; y) = ; -
является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в . Обозначим его (u, v)-1.
Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в .
Из 1)-11) следует, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.
Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.
Пусть U1 = (u; 0). Ясно, что U1 K x K.
Покажем, что множество U1 замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:
(u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2: 0 + 0) = (u1 + u2: 0) U1;
(u1, 0) (u2, 0) = (u1 u2 – 0; 0 u1 + 0 ū2) = (u1 u2: 0) U1.
Далее:
- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) U1;
(u; 0)-1 = = U1,
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9