Дипломная работа: Алгебра октав
Пусть -линейная алгебра ранга п над полем действительных чисел и х, у А. Если e1, e2, ..., еn - базис А, то:
х = х1е1 + х2е2 + .... + хпеп, у = y1е1 + y2е2 + .... + yпеп. .
Определение. Скалярным произведением элементов х, у А называется сумма х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.
Обозначение скалярного произведения:
(х, у) = х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.
В частности:
(х, х) = ++… +.
Скалярное произведение элементов х, уА должно удовлетворять общим условиям скалярного произведения в линейных пространствах:
1)для любых х, у А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)для любых х, у А имеет место (х, у) = (у, х);
3)для любых х, у А и А R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у):
4)для любых х, у, z А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z).
Определение. Линейная алгебра называется нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у А таким образом, чтобы выполнялось равенство:
(ху, ху) = (х, х)(у, у) . ()
Если положим =|х|. то равенство () записывается в виде:
|ху| = |х| |у|.
Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда
(0, 0) = (х, х)(у, у) (х, х)(у, у) = 0,
откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.
Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.
Пусть e А, и ue, а - произвольный элемент из А. Покажем, что найдется такое k R, что a - kee. Тогда:
a - kee (a – ke, e) = 0 (a, e) – k(e, e) = 0.
Скалярное, произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - kee.
Следствие. Если - линейная алгебра с единицей 1, то для любого а А имеет место а = k1 + u, где u 1.
Пример 1. Пусть (C, +, .R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1, i. Скалярное произведение двух комплексных чисел z =а+bi и u =с+ di определим как (z, u) = (zū + u).
Так как
zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,
u= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,
то (z, u) = (zū + u) = ac+bd.
В частности,
(z, z) = (z + z) = z= |z|2 = a2+b2.
Так как,
zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,
то (zu, zu) = ((zu)*()+( zu)( ))=( zu)()=|zu|2 = (ac-bd)2+( ad+bc)2=
a2с2-2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 =
a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 + d2) = | z |2 | u |2 = (z, z)(u, и),
т.е. выполняется
(zu, zu) = (z, z)(u, и).
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ≥ 0 и (z, z) = a2 + b2 = 0 a= 0 b= 0 z=0;
2) (z, u) = (zū + u) = ( u+zū) =(u, z);
3) (z, ku) = (z +(ku) ) = k(zū + u) =k(z, u);
4) (z, u+v) = (z +( u+v) ) = (zū+z+ u+ v) =(zū+ u)+ ( z+ v) = (z+u)+(z+v).
Итак, все условия скалярного произведения при
(z, u) = (zū + u)
выполнены для комплексных чисел z и u.
Пример 2. Пусть - тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Если
р = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k,
то по свойству 6 сопряженных кватернионов
p + q = 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1).
Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение
(p + q) = aa1 + bb1 + cc1 + dd1.
Итак,
(p, q) = (p + q).
В частности,
(p, p) = (p + p)= p = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2.
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (p, p) = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2 ≥ 0 и (p, p) = a2+ b2 + c2 + d2 = 0 a= 0 b= 0 c= 0 d= 0 p=0;
2) (p, q) = (p + q) = ( q+ p) = (q; p);
3) (p, kq) = (p +(kq) ) = k(p + q) =k(p, q);
4) (p, q1+q2) = (p +(q1+q2) ) = (p1+ p2+ q1+ q2) =(p1+ q1) + (p2+ + q2) = (p+q1)+(p+q2).
Проверим равенство:
(pq, pq) = (p, p)(q, q).
В самом деле,
(pq, pq) = ((pq) * () + (pq) * ()) = ((pq) * () + (pq) * ()) = (pq) * () = p(q)= |q|2 p=|p|2 + |q|2 = (a2 + b2 + c2 + d2)* () = (p,p ) (q, q).
Итак, все условия скалярного произведения при
(p, q) =(p + q)
выполнены для кватернионов р и q.
Пример 3. Пусть - алгебра октав. Базисом в U являются 1, i, j, k, e, I, J, K.
Если
w =и+ve =a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1 J+D1K,
то по свойству 6) сопряженных октав
w+w1=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
Возьмем в качестве скалярного произведения двух октав w и w1 выражение
(w+w1) =aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD.
Итак,
(w, w1) = (w+w1).
В частности,
(w, w) = (w+w) = w = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 .
Проверим выполнение условий скалярногопроизведения:
1) (w, w) = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 ≥ 0 и (w, w) = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 a= 0 b= 0 c= 0 d= 0 A = 0 b= 0 c= 0d= 0 w = 0;
2) (w, w1) = (w1+w1) = (w1+w1) =(w1, w);
3) (w, kw1) = (w(1)+(kw1)) = k(w1+w1) =k(w1, w);
4) (w, w1+ w2) = (w+(w1+w2) ) = ( w1 + w2+ w1+ w2) = (w1 + w1) +(w2+w2) = (w, w1)+( w, w2).
Проверим равенство:
(ww1, ww1) = (w, w)(w1, w1).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9