Быстрый поиск

Реферат: Полный курс лекций по математике

Решение: АВ=(4 0 -2 1)* =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)

Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.

Основные свойства операций над матрицами:

А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат.

Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.

Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3

1 3 4 ,

Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?

Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)

1 3 4

Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.

Второе – на 55 тыс. руб.

Третье – на 90 тыс. руб.

Тема 8. Понятие множества.

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается

В С А.

Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.

Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}

Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.

Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.

Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

А∩В = {6, 8}

А \ В = {1, 3}

Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным.

Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел.

Очевидно, что N С Z C Q C R

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.

Рис.1

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а<x<в - открытым интервалом (а, в); неравенствам а ≤ х < в или а< х ≤ в, называется полусегментами соответственно [а, в) и (а, в].

Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

х, если х ≥ 0

-х, если х < 0

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно:

/х/=

По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.

Свойства абсолютных величин:

1. │х+у│ ≤ │х│+│у│, 2. │х-у│ ≥ │х│ - │у│,

3. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│

Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε< -│х│≤ х ≤│х│<ε, или -ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε).

Рассмотрим неравенства │х-а│<ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а - ε<х<а+ε.

Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.

Интервал (а – ε, а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<ε (где ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон, буква греческого алфавита).

Рис.2

а – ε а а+ε

Тема 9. Функция. Классификация функций.

Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество У).

Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

ƒ – закон соответствия, знак функции.

Пусть Х и У множества вещественных чисел.

Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1

Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞).

Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).

Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции.

Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках

х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.

Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | - 1| / 1= 1;

f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.

f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.

Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1.

Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t.

Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2 – 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 - 2 = 3а4 – 5а2 + 1.

2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2.

Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.

а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.

б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.

в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).

Например, у = х2 (Рис.1); у = (Рис.2)

0 х 0 х

Рис. 1. Рис. 2.

Г) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:

1, если х – рациональное число.

f(х) =

0, если х – иррациональное число.

Основные элементарные функции.

Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их:

1. у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.

2. Показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1.

3. Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ≠ 1

4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.

5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,

у = arcctg х.

Сложная функция. (суперпозиция функций).

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными.

Например, у = )/(sin2х+3) или у = 2 - tg х.

Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.

Рис.3

0

х

Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.

1 класс алгебраических функций:

а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1, А2, … , Ап – вещественные числа, коэффициенты многочлена.

б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(В0хм + В1хм-1 + … +Вм), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.

в) Иррациональная функция, например, у = + х2.