Реферат: Полный курс лекций по математике
Пример 1. Вычислить (2х2 -3 -1)dx.
Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой. (2х2 -3 -1)dx = 2х2 dx - 3х1/2 dx - dx=
= 2(x2/2) – 3[(х3/2 *2)/3] – x + C = x2 - 23 – x +C.
Пример 2. (2/ -1/х + 4sinx)dx = 2х –1/2dx – ln │х│ - 4cosx + C =
= 2[(x1/2 *2)/1] – ln │x│ - 4 cosx +C = 4 -ln│x│- 4cosx + C.
Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям.
Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях.
Например, e –x^2 dx, sinх2 dx, cosх2 dx, sinx/x dx, cosx/x dx, dx/lnx – «неберущиеся» интегралы , т.е. не существует такой элементарной функции, что F `(x) = e –x^2, F ` (x) = sinx2 и т.д.
Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона - Лейбница.
Понятие интегральной суммы.
Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим
|
|
Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С1, С2, …, Сп на каждом элементарном отрезке разбиения.
Геометрический смысл интегральной суммы.
Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1
y = f(x)
у
S1 S2 S3
0 а=х0 в1 х1 с2 х2 с3 х3 =в х
Рис.1
Пусть п=3, тогда а = х0, х1, х2, х3=в.
С1 ,С2 ,С3 точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.
S1 = f1(C1) ∆x1 – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х1 = х1-х0,
S2 = f2(C2) ∆x2 – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х2 = х2-х1,
|
|
Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.
Понятие определенного интеграла.
|
|
|
|
max ∆xi →0
Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.
Некоторые свойства определенного интеграла.
10 . Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
= = и т.д.
20. есть число.
30. = - , а<b
40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
= m , где m – const.
50. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
60. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей.
|
|
|
|
Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на [а; b].
= F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функции f(x).
Например, - вычислить.
1)
|
|
2) Подставим в первообразную х3/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.
|
|
|
|
= 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.
Тема 14. Несобственные интегралы.
Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке [а; b], когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке [а; b]. Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.
= Ф(х), х ≥ а.
Определение. – называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [а;¥), вводится он как предел функции Ф(t) при t ®¥, т.е.
|
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл сходится к ½.
По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-¥, b].
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |