Быстрый поиск

Реферат: Решение уравнений в целых числах

могут быть получены из только что выведенных формул , , если выбрать , что можно сделать, так как значения , являются, очевидно, решением уравнения

Как же найти какое-нибудь одно решение уравнения (3) в общем случае, когда . Начнем с примера.

Пусть дано уравнение

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби ;

Правильную дробь заменим равной ей дробью .

Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью .

Теперь исходная дробь примет вид:

Повторяя те же рассуждения для дроби получим .

Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби :

, .

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда

Из сопоставления полученного равенства с уравнением следует, что , будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях , .

Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь . Обозначим через частное и через остаток от деления а на b. Тогда получим: , .

Пусть, далее, - частное и - остаток от деления на Тогда , ; точно так же

Величины , ,… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида. Остатки от деления , ,…удовлетворяют неравенствам

(5)

т. е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Так как количество неотрицательных целых чисел, не превосходящих b, не может быть бесконечным, то на некотором шаге процесс образования неполных частных оборвется из-за обращения в ноль очередного остатка r. Пусть - последний отличный от нуля остаток в ряде (5); тогда и алгоритм Евклида для чисел a и b примет вид

(6)

Перепишем полученные равенства в виде

Заменяя значение в первой строке этих равенств соответствующим значением из второй строки значение - выражением из третьей, строки и т. д., получим разложение в цепную дробь:

Выражения, получающиеся из цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, назовем подходящими дробями. Первая: подходящая дробь получится при отбрасывании всех звеньев, начиная с : .

Вторая подходящая дробь получается отбрасыванием всех звеньев, начиная с : . Точно так же

и т. д.

В силу способа образования подходящих дробей возникают очевидные неравенства:

; .

Запишем k-ю подходящую дробь в виде ,

и найдем закон образования числителей и знаменателей подходящих дробей, Преобразуем первые подходящие дроби , , :

; , ;

; ; ;

;

Отсюда получаем:

; .

Применяя индукцию, докажем, что соотношения того же вида

, (7).

выполняются для всех .

Действительно, пусть равенства (7) выполняются для некоторого . Из определения подходящих дробей непосредственно следует, что при замене в выражении величины на перейдет в . Согласно индукционному предположению

Заменяя здесь на , получим:

Отсюда, так как , следует, что

, .

Таким образом, из выполнения равенств (7) для некоторого следует выполнение их для Но для равенства (7) - выполняется и, следовательно, их справедливость установлена для всех .

Покажем теперь, что разность соседних подходящих дробей удовлетворяет соотношению

. (8)

Действительно,

Пользуясь формулами (7), преобразуем числитель полученной дроби:

Выражение, стоящее в скобках, получается из исходного заменой на . Повторяя такие же преобразования для получающихся выражений, получим, очевидно, цепь равенств:

Отсюда следует, что

Если разложение в цепную дробь имеет звеньев, то п-я подходящая дробь совпадает с . Применяя равенство (8), при получим

(9)

Вернемся теперь к решению уравнения

, (10)

Перепишем соотношение (9) в виде .

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим

Умножим это соотношение на . Тогда

Отсюда следует, что пара чисел ,

, , (11)

является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого уравнения имеют вид

Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых уравнений второй степени.

3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

П р и м е р I. Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными:

(12)

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т. е. прямоугольных треугольников, у которых и катеты , и гипотенуза выражаются целыми числами.