Реферат: Решение уравнений в целых числах
Теперь уравнение (12) можно записать в виде
;
сокращая на 
, получим
.
Мы пришли
к уравнению того же вида, что и исходное, причем теперь величины 
и 
не имеют общих делителей,
кроме 1. Таким образом, при решении уравнения (12) можно ограничиться случаем,
когда 
и 
взаимно просты. Итак, пусть
. Тогда хотя бы одна из
величин 
и 
(например, 
) будет нечетной.
Перенося 
в правую часть уравнения
(12), получим
; 
.
(13)
Обозначим
через 
общий наибольший делитель
выражений 
и 
. Тогда
, 
, (14)
где 
и
взаимно просты.
Подставляя
в (13) значения 
и 
, получим
.
Так как
числа 
и 
не имеют общих делителей,
то полученное равенство возможно только в том случае, когда 
и 
будут полными квадратами:
, 
.
Но тогда
и
(15)
Найдем
теперь 
и 
из равенств (14). Сложение
этих равенств дает:
; 
. (16)
Вычитая второе из равенств (14) из первого, получим
; 
(17)
В силу
нечетности 
из (15) получаем, что 
, 
и 
также нечетны. Более того, 
, так как иначе из равенств
и 
следовало бы, что величины 
и 
имеют общий делитель 
, что противоречит
предположению об их взаимной простоте. Числа 
и
связаны с взаимно простыми
числами 
и 
равенствами
, 
и в силу этого сами взаимно
просты; 
, так как 
, что ясно из равенств (14).
Подставляя
в равенства (15) - (17) 
, получим
формулы:
, 
, 
,
(18)
дающие при нечетных взаимно
простых 
и 
все свободные от общих делителей тройки целых
положительных чисел 
, 
, 
, удовлетворяющие уравнению (12).
Простой подстановкой 
, 
и 
в уравнение (12) легко
проверить, что при любых 
и 
числа (18) удовлетворяют
этому уравнению.
Для
начальных значений 
и 
формулы (18) приводят к
следующим часто встречающимся равенствам:
Как уже было сказано, формулы (18) дают только те решения уравнения
,
в которых числа 
, 
и 
не имеют общих делителей.
Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаются умножением
решений, содержащихся в формулах (18), на произвольный общий множитель 
.
Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения (12), могут быть получены и все решения других уравнений того же типа.
П р и м е р II. Найдем все решения уравнения
(19)
в целых положительных попарно взаимно
простых числах 
, 
, 
.
Заметим,
что если 
, 
, 
есть решение уравнения (19)
и 
, 
, 
не имеют общего делителя,
отличного от 1, то они и попарно взаимно просты. Действительно, если 
и 
кратны простому числу 
, то из равенства
следует, так как его левая часть
- целое число, что 
кратно 
. То же самое будет,
если 
и 
или 
и 
делятся на 
.
Заметим,
что 
должно быть числом нечетным
для того, чтобы общий наибольший делитель 
,
, 
был равен 1.
Действительно, если 
четно, то левая
часть уравнения (19) будет четным числом и, значит, z также будет четным. Но 
и 
будут тогда кратны 4.
Отсюда следует, что 
должно делиться
на 4, другими словами, что 
тоже
должно быть четным числом. Значит, если 
четно,
то все числа 
, 
, 
должны быть четными.
Итак, в решении без общего отличного от 1 делителя 
должно
быть нечетным. Отсюда уже следует, что и 
должно
быть тоже нечетным. Перенося 
в правую
часть, мы получаем:
.
Но 
и 
имеют общим наибольшим
делителем 2. Действительно, пусть их общий наибольший делитель будет 
. Тогда
, 
,
где 
и
- целые числа. Складывая и
вычитая эти равенства, мы будем иметь:
,
.
Но 
и 
нечетны и взаимно просты.
Поэтому общий наибольший делитель 
и 
будет 2. Отсюда следует,
что 
.
Итак, или 
, или 
нечетно. Поэтому или
числа
и
взаимно просты, или взаимно просты числа
и
.
В первом случае из равенства
следует, что
, 
,
а во втором случае из равенства
следует
, 
,
где 
и
целые, 
- нечетное число и 
, 
. Решая эти две системы
уравнений относительно 
и 
и находя 
, мы получаем или
, 
, 
или
, 
, 
,
где 
нечетно.
Объединяя эти две формы представления решения 
,
, 
мы получаем общую формулу
, 
, 
,
где 
нечетно.
Но для того чтобы 
и 
были целыми числами,
необходимо, чтобы 
было четным.
Полагая 
и 
, мы получим окончательно общие
формулы, дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без
общего делителя, большего 1, числах
,
, 
:
, 
, 
,
(19')
