Курсовая работа: Исследование особенностей технической эксплуатации двигателей легковых автомобилей "Merсedes"
Вычисляем общее статистическое математическое ожидание наработки:
Вычисляем статистическую дисперсию:
Несмещенное значение среднеквадратического отклонения:
Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении опытных данных.
Вычисляем с помощью табличной функции Лапласа теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы:
Для 1-го интервала
;
Для 2-го интервала
;
Для 3-го интервала
;
Для 4-го интервала
;
Для 5-го интервала
;
Для 6-го интервала
;
Для 7-ого интервала
.
Значения теоретических вероятностей заносим в табл. 2.2 строка 5
На основании полученных теоретических вероятностей производим сглаживание опытной гистограммы теоретической кривой нормального закона.
Находим теоретические числа попадания случайных точек в интервалы и записываем значения в табл. 2.2 строка 6.
;
;
;
;
;
;
Вычисляем слагаемые критерия Пирсона, заполняя тем самым табл. 2.2 строка 7.
1-ый интервал 4-ый интервал
; ;
2-ой интервал 5-ый интервал
; ;
3-ий интервал 6-ой интервал
; ;
7-ой интервал
.
Суммируя слагаемые критерия Пирсона по интервалам, получаем значение критерия Пирсона:
.
Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к нормальному закону с помощью критерия Пирсона:
-число степеней свободы равно
.
-гипотеза не отвергается.
Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к нормальному распределению с помощью критерия Романовского:
Таким образом, по критерию Романовского гипотеза не отвергается.
Расчет критерия Колмогорова.
В каждом из интервалов определяем модуль разности между экспериментальными значениями интегральной функции F(xi)э и теоретическими F(xi), т.е.
и выбираем максимальное значение Dmax. Вычисляем расчетное значение критерия:
Таким образом, по критерию Колмогорова гипотеза не отвергается.
2.4.3 Логарифмически-нормальной распределения
В этом случае нормальное распределение имеет не сама величина, а значение ее логарифма. Логарифмически-нормальное распределение формируется в случае, если на протекание исследуемого процесса и его результата влияет сравнительно большое число случайных и взаимно независимых величин, интенсивность действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния.
Модель формирования называется моделью “пропорционального эффекта”. Данным законом хорошо описывать изменение геометрических, диагностических параметров, а так же для описания усталостных процессов, коррозии, наработки крепежных соединений.
В решении задач ТЭА Vx=0,3…0,7
Заготавливаем статистическую таблицу
Таблица 2.3
Статистическая таблица для логарифмически-нормального распределения.
Наименование параметра | Номер интервала | ||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
1.Границы интервалов |
10,0; 11,5 |
11,5;13,0 |
13,0; 14,5 |
14,5; 16,0 |
16,0; 17,5 |
17,5; 19,0 |
19,0; 20,5 |
2.Середины интервалов | 10,75 | 12,25 | 13,75 | 15,25 | 16,75 | 18,25 | 19,75 |
3.Опытные числа попаданий в интервалы mi |
4 | 2 | 8 | 16 | 5 | 4 | 3 |
4.Опытные частоты попаданий в интервалы |
0,095 | 0,048 | 0,19 | 0,381 | 0,119 | 0,095 | 0,071 |
5. Натуральный логарифм для середины интервала |
2,375 | 2,506 | 2,621 | 2,725 | 2,818 | 2,904 | 2,983 |
6. Центрированная и норми- рованная случайная величина |
1,793 | 1,082 | 0,457 | 0,109 | 0,614 | 1,082 | 1,511 |
7. Плотность нормированной и центрированной случайной величины |
0,080 | 0,222 | 0,359 | 0,391 | 0,330 | 0,222 | 0,127 |
8. Плотности распределения f(xi) |
0,04 | 0,098 | 0,142 | 0,139 | 0,107 | 0,066 | 0,035 |
9. Теоретические числа попаданий в интервалы mi* |
2,52 | 6,174 | 8,946 | 8,779 | 6,741 | 4,158 | 2,205 |
10. Слагаемые критерия Пирсона |
0,869 | 2,822 | 0,1 | 5,939 | 0,449 | 0,006 | 0,287 |
11. Вероятности не попадания в интервалы |
0,94 | 0,853 | 0,787 | 0,791 | 0,839 | 0,901 | 0,947 |
12. Теоретические вероятности попадания в интервалы Pi |
0,06 | 0,147 | 0,213 | 0,209 | 0,161 | 0,099 | 0,053 |
13. Теоретическая функция распределения F(xi) |
0,06 | 0,207 | 0,42 | 0,629 | 0,79 | 0,889 | 0,942 |
14.Экспериментальные значения интегральной функции F(xi)э |
0,095 | 0,143 | 0,333 | 0,714 | 0,833 | 0,929 | 1 |
Выдвигаем гипотезу о возможности распределения по логарифмически-нормальному закону.
Вычисляем значения натуральных логарифмов для середины интервалов:
Вычисляем статистическое математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
Несмещенная оценка для дисперсии :
Вычисляем центрированные и нормированные значения случайной величины и заносим значения в таблицу 2.3 строка 6.
Находим плотности распределения для центрированных и нормированных случайных величин, используя таблицу:
Заносим данные в таблицу 2.3 строка 7
Вычисляем плотности распределения случайной величины, заполняем строку 8 табл. 2.3
Вычисляем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервал по формуле:
Заполняем строку 12 табл.2.3
Вычисляем теоретические числа попадания случайной величины в интервалы по формуле: и заполняем строку 9 табл.2.3
Вычисляем составляющие критерия Пирсона для каждого интервала и заполняем строку 10 табл. 2.3
Суммируя слагаемые критерия Пирсона по интервалам, получаем значение критерия Пирсона:
Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к логарифмически-нормальному закону.
По критерию Пирсона:
Следовательно, по критерию Пирсона гипотеза о принадлежности опытных данных к логарифмически-нормальному закону отвергается.
По критерию Романовского:
- гипотеза не отвергается
Вычисляем вероятности исправной работы (кривая ресурса), для этого суммируем плотности распределения
Расчет критерия Колмогорова.
В каждом из интервалов определяем модуль разности между экспериментальными значениями интегральной функции F(xi)э и теоретическими F(xi), т.е.
и выбираем максимальное значение Dmax. Вычисляем расчетное значение критерия:
Таким образом, по критерию Колмогорова гипотеза не отвергается.
2.5 Выбор оптимальной математической модели и проверка её на адекватность
При выполнении данной курсовой работы также были просчитаны законы распределения: Вейбулла, экспоненциальный и - распределение. Эти законы распределения отвергаются по всем критериям и однозначно не подходят к данному вариационному ряду.
В результате проделанных расчетов мы можем сделать вывод, что в нашем случае больше всего подходит нормальное распределение времени монтажа-демонтажа стартера автомобиля Merсedes. Это заключение мы сделали на основании рассчитанных критериев о принадлежности той или иной гипотезы. Выбранное распределение не отвергается не по одному из критериев и имеет наименьшее их значение:
- критерий Пирсона:
- критерий Романовского:
- критерий Колмогорова: