Дипломная работа: Оптимизация работы предприятия ООО "Техсервис" по критерию прибыли за счет инноваций технологии и экономии ресурсов

 – номер рассматриваемого события;

 – номера последующих событий, соединённых с рассматриваемым работами;

 – поздний срок наступления -го последующего события, ;

 – длительность работы, соединяющей -е последующее событие с рассматриваемым,

Таким образом, поздний срок наступления -го события – есть минимально возможная разность из разностей поздних сроков наступления последующих событий и длительностей работ, соединяющих последующие события с рассматриваемым. Забегая вперёд, необходимо сказать, что эти разности равны поздним срокам начала соответствующих работ. Тогда, поздний срок свершения события – есть минимальный среди поздних сроков начала, исходящих из него работ.

Зная ранний и поздний сроки наступления события, можно определить резерв времени события:

, (2.3)

где  – резерв времени рассматриваемого события, .

Резерв времени события показывает насколько можно отсрочить наступление события по сравнению с его ранним сроком наступления без изменения общей продолжительности всего проекта.

Ранний срок начала работы совпадает с ранним сроком наступления её начального события, а ранний срок окончания работы превышает его на величину продолжительности этой работы:

; (2.4)

, (2.5)

где  – ранний срок начала работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, ;

 – ранний срок окончания данной работы, ;

 – длительность этой работы, ;

 – раннее начало события, из которого исходит рассматриваемая работа, ;

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком наступления её конечного события, а поздний срок начала работы меньше на величину продолжительности этой работы:

; (2.6)

, (2.7)

 – поздний срок окончания работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, ;

 – поздний срок начала данной работы, ;

 – длительность этой работы, ;

 – позднее окончание события, в которое входит рассматриваемая работа, .

Полный резерв времени некоторой работы – это максимальное время, на которое можно отсрочить её начало или увеличить продолжительность, не изменяя директивного срока наступления завершающего события сетевого графика:

, (2.8)

где  – полный резерв времени работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, .

Свободный резерв времени некоторой работы – максимальное время, на которое можно отсрочить её начало или увеличить её продолжительность при условии, что все события наступают в свои ранние сроки:

, (2.9)

где  – свободный резерв времени работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, .

В качестве примера, который потребуется и в дальнейшем, основные рассмотренные параметры сетевого графика рассчитаны для случая, представленного на рисунке 2.1. Здесь, длительности работ, являющиеся исходными данными для расчёта, выбраны произвольным образом. Параметры работ обозначены соответствующими символами возле стрелок. Параметры событий отражены в трёх квадрантах соответствующих кружков. В левых квадрантах отражены значения ранних сроков свершения событий. В правых – значения поздних сроков свершения событий. В верхних – значения резервов времени событий.

Как говорилось в предыдущем разделе, длительность критического пути легко найти из расчёта параметров сетевого графика. Теперь можно сказать, чему она равна, – она равна сроку свершения завершающего события сетевого графика и, соответственно, определяет длительность выполнения всех проектных работ. Последнее заключается в том, что проектные работы не могут завершиться в срок, меньший, чем длительность критического пути, и в тоже время, если все проектные работы выполняются вовремя, то срок их завершения равен длительности критического пути.

Обоснование рациональных методик поиска особых путей сетевых графиков

Обоснование рациональных методик поиска особых путей сетевого графика основано на смысле полного резерва времени работы, который показывает, на сколько можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы без изменения продолжительности всего проекта. Надо сказать, что этот смысл вытекает из правил расчёта сетевого графика и давно известен, поэтому сейчас он не требуется в специальном рассмотрении. Важно другое – из смысла полного резерва времени работы следует истинность следующего утверждения, на котором основаны некоторые, приводимые ниже доказательства, – полный резерв времени работы может появиться только за счёт существования другого более длительного пути, нежели путь, в состав которого входит рассматриваемая работа. Это утверждение становится очевидным, если подумать – за счёт чего, у некоторой работы, может появиться возможность отсрочить начало её выполнения или увеличить её продолжительность без изменения срока свершения завершающего события сетевого графика? Естественно, только за счёт того, что этот срок свершения определяется другим, более продолжительным путём.

Начнём с доказательства методики поиска критического пути сетевого графика. Для этого рассмотрим ряд вспомогательных теорем.

Теорема 3.1 – Для того, чтобы некоторый путь сетевого графика был бы критическим, необходимо и достаточно, чтобы полные резервы времени всех входящих в него работ были бы равны нулю.

Необходимость – Если некоторый путь является критическим, то полные резервы времени всех входящих в него работ равны нулю.

Докажем это утверждение методом от противного.

Пусть известно, что некоторый рассматриваемый путь заведомо критический. Теперь предположим противное – на нём лежит хотя бы одна работа с ненулевым резервом времени. Это означает, что есть другой путь, с большей продолжительностью, чем рассматриваемый, за счёт чего и получается данный резерв времени. Но, раз имеется более продолжительный путь, то рассматриваемый путь уже не может быть критическим. Полученное противоречие доказывает невозможность существования на критическом пути работы с ненулевым полным резервом времени, так как в противном случае, он уже не будет являться критическим. Тогда, для любой работы критического пути остаётся другая возможная ситуация – её полный резерв времени равен нулю. Утверждение доказано.

Поскольку любой сетевой график имеет критический путь, то есть путь с наибольшей продолжительностью, то, на основании только что доказанного, в любом сетевом графике можно найти путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени.

Достаточность – Если все работы некоторого пути имеют нулевые полные резервы времени, то этот путь обязательно является критическим.

Если некоторый путь имеет работы только с нулевыми полными резервами времени, то это означает, что ни одну работу, указанного пути, нельзя увеличить по длительности без изменения срока свершения завершающего события сетевого графика. Это возможно, только когда сумма длительностей работ, рассматриваемого пути равна сроку свершения завершающего события, то есть длительности критического пути. Тогда, рассматриваемый путь и является критическим, в силу того, что он равен критическому пути по длительности. Утверждение доказано.

Теорема 3.2 – Если в некоторое событие сетевого графика входит работа с нулевым полным резервом времени, то среди всех исходящих из данного события работ, обязательно найдётся хотя бы одна, имеющая также нулевой резерв времени. То есть, работы с нулевыми резервами времени следуют друг за другом непрерывно.

Для доказательства данной теоремы рассмотрим обобщенный пример на рисунке 2.2, где, в целях удобства, событиям присвоены условные номера.

Докажем теорему методом от противного.

Пусть для работы, входящеё в событие 2, полный резерв времени . Предположим противное – среди всех работ, исходящих из события 2, нет ни одной работы с нулевым полным резервом времени.

Для начала найдём, чему равен поздний срок свершения события 2. Он, в соответствии с формулой (2.2), определяется как минимальное время позднего начала работы среди всех работ, исходящих из рассматриваемого события. Пусть поздний срок свершения события 2 равен позднему началу работы, входящей, например, в событие 4:

,

или, в соответствии с выражением (2.8) для полного резерва времени,

.(2.10)

Теперь рассмотрим, какое может иметь значение полный резерв времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2. В соответствии с формулой  (2.8):

 (2.11)

Из формулы (2.11) видно, что минимально возможное значение полного резерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2, достигается тогда, когда величина  достигает своего максимального значения. Из правила определения раннего срока свершения события, задаваемого формулой (2.1), следует, что максимальное значение этой величины может быть равно только раннему сроку свершения события 2, когда ранний срок окончания рассматриваемой работы самый большой из всех ранних сроков окончания работ, входящих в событие 2. Тогда, минимально возможное значение полного резерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2 равно:

,

или, исходя из формулы (2.11):

  (2.13)

Поскольку мы предположили от противного, что среди всех исходящих из события 2 работ нет работ с нулевым полным резервом времени, то отсюда сразу вытекает, что и работа, исходящая из события 1 и входящая в событие 2, также не может иметь нулевой полный резерв времени, уж если его минимальное значение заведомо неравно нулю, в соответствии с полученным равенством. Последнее противоречит условию теоремы. Из этого противоречия следует то, что невозможна ситуация, когда при нулевом резерве времени работы, входящей в событие 2, все исходящие из этого события работы имели бы ненулевые резервы времени. Если бы это имело место, то в соответствии с приведённым доказательством, работа, входящая в событие 2 также бы имела ненулевой полный резерв времени. Но ведь это не так по условию теоремы. Тогда для работ, исходящих из события 2 остаётся другая возможная ситуация – хотя бы одна из них имеет также нулевой полный резерв времени. Теорема доказана.

Из доказанных выше теорем, непосредственно, следует методика поиска критического пути, приводимая ниже.

Рациональная методика поиска критического пути сетевого графика:

1        Просмотр сетевого графика ведётся от его начального события к конечному;

2        При рассмотрении начального события сетевого графика, в качестве работы, лежащей на критическом пути, выбирается та, которая имеет нулевой полный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.1 (утверждение-необходимость), такая работа обязательно будет существовать;

3        При рассмотрении работ, исходящих из события, к которому привила работа с нулевым полным резервом времени, выбирается работа, также имеющая нулевой полный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.2, такая работа существует;

4        Если, среди исходящих из некоторого события работ, есть несколько работ с нулевыми полными резервами времени, то выбирается любая. При этом, согласно теореме 3.2, процесс построения критического пути в тупик зайти не может, и рано или поздно дойдет до завершающего события сетевого графика.

Реализация указанных правил даёт путь, состоящий только из работ с нулевыми полными резервами времени. Тогда, на основании теоремы 3.1 (утверждение-достаточность), этот путь и будет являться критическим.

В целях проверки, доказанная методика применена для сетевого графика, представленного на рисунке 2.1 . Здесь, найденные критические пути, выделены жирными стрелками. Как видно, таких путей два, благодаря тому, что среди работ, исходящих из события 0, есть две работы с нулевыми полными резервами времени. Проверить то, что найденные пути являются критическими легко, просуммировав длительности принадлежащих им работ. Суммы окажутся: во-первых, равными между собой, а во-вторых, наибольшими среди аналогичных сумм других возможных путей.

Теперь рассмотрим вопрос поиска наикратчайшего пути сетевого графика. Оказывается, для его поиска можно применять, методику поиска критического пути, если использовать идею, высказываемую в следующей теореме.

Теорема 3.3 – Если произвести расчёт параметров заданного сетевого графика по установленным правилам, но заменяя известные длительности работ на те же значения с отрицательным знаком (длительности всех работ будут меньше нуля), то наикратчайший путь сетевого графика станет подчиняться всем свойствам критического пути.

Эту теорему легко доказать, используя правило сравнения отрицательных чисел. Данное правило заключается в том, что одно отрицательное число считается большим другого, если абсолютное значение первого меньше абсолютного значения второго. Поскольку длительность наикратчайшего пути, по абсолютному значению наименьшая, среди длительностей всех других путей сетевого графика, то, на основании указанного правила, отрицательная длительность наикратчайшего пути будет наибольшей среди отрицательных длительностей остальных путей. Тогда, наикратчайший путь, состоящий из работ с отрицательными длительностями, будет критическим, при условии, что все остальные пути, также состоят из работ с отрицательными длительностями. Теорема доказана.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22